Seja a função f(x, y)=ln (y-x^2-1).
Determine as curvas de nível k de f e desenhe-as para alguns valores de k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \ln \left(y - x^{2} - 1\right) $ e precisa descobrir as curvas de nível $ k $ dessa função. Curvas de nível são aquelas linhas no plano onde a função assume um valor constante $ k $. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como as funções logaritmicas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. São conjuntos de pontos (x, y) que satisfazem a equação $ f(x, y) = k $. No nosso caso, isso fica:
f(x, y) = k

Passo 3

Agora, para tirar o logaritmo, a gente “desfaz” o ln aplicando a função exponencial dos dois lados:
y - x^2 - 1 = e^k

Passo 4

Vamos isolar $ y $ para deixar a equação mais clara:
y

Passo 5

Então, a equação das curvas de nível é $ y = x^{2} + 1 + e^{k} $. Isso é basicamente uma parábola que abre para cima, com o vértice deslocado no eixo $ y $ dependendo do valor de $ k $.

Passo 6

Para desenhar essas curvas, vamos escolher alguns valores de $ k $. Por exemplo:
  • Se $ k = 0 $: k
  • Se $ k = 1 $: k = 0
  • Se $ k = -1 $: y = x^2 + 1 + e^0 = x^2 + 2

Passo 7

Cada uma dessas equações representa uma parábola diferente. À medida que $ k $ aumenta, a parábola se move para cima no eixo $ y $. Se $ k $ diminui, a parábola se move para baixo, mas sempre acima da linha $ y = x^{2} + 1 $ porque $ e^{k} $ nunca é negativo.

Resposta

As curvas de nível $ k $ da função $ f(x, y) = \ln \left(y - x^{2} - 1\right) $ são parábolas da forma $ y = x^{2} + 1 + e^{k} $. Ao variar $ k $, essas parábolas se deslocam verticalmente no plano, permitindo a visualização de diferentes níveis da função.

Exercícios relacionados