Seja a função
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Determine as curvas de nível
de
e desenhe-as para alguns valores de
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Determine as curvas de nível
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \ln \left(y - x^{2} - 1\right) $ e precisa descobrir as curvas de nível $ k $ dessa função. Curvas de nível são aquelas linhas no plano onde a função assume um valor constante $ k $. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como as funções logaritmicas se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. São conjuntos de pontos
que satisfazem a equação $ f(x, y) = k $. No nosso caso, isso fica:
Passo 3
Agora, para tirar o logaritmo, a gente “desfaz” o ln aplicando a função exponencial dos dois lados:
Passo 4
Vamos isolar $ y $ para deixar a equação mais clara:
Passo 5
Então, a equação das curvas de nível é $ y = x^{2} + 1 + e^{k} $. Isso é basicamente uma parábola que abre para cima, com o vértice deslocado no eixo $ y $ dependendo do valor de $ k $.
Passo 6
Para desenhar essas curvas, vamos escolher alguns valores de $ k $. Por exemplo:
- Se $ k = 0 $:
- Se $ k = 1 $:
- Se $ k = -1 $:
Passo 7
Cada uma dessas equações representa uma parábola diferente. À medida que $ k $ aumenta, a parábola se move para cima no eixo $ y $. Se $ k $ diminui, a parábola se move para baixo, mas sempre acima da linha $ y = x^{2} + 1 $ porque $ e^{k} $ nunca é negativo.
Resposta
As curvas de nível $ k $ da função $ f(x, y) = \ln \left(y - x^{2} - 1\right) $ são parábolas da forma $ y = x^{2} + 1 + e^{k} $. Ao variar $ k $, essas parábolas se deslocam verticalmente no plano, permitindo a visualização de diferentes níveis da função.