Determine os pontos e os valores extremos da função
restrito ao triângulo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os pontos e os valores extremos de
restrita ao triângulo
Informações relevantes que temos (todas extraídas da descrição do conjunto
):
- As desigualdades
e e a reta determinam um triângulo com vértices em , e . - A função
é contínua e é compacto (fechado e limitado), portanto atinge máximo e mínimo em .
O que o enunciado pede: encontrar os pontos emonde atinge seus extremos (máximo e mínimo) e os valores de nesses pontos.
Passo 2
Procurar pontos críticos no interior de
(isto é, pontos com
e
).
Primeiro, calar a etapa teórica curta: para uma função de duas variáveis
, pontos críticos interiores são pontos onde o gradiente é zero, isto é onde
. Aqui calculamos as derivadas parciais:
Para anular ambas as componentes precisamos de
Assim o único ponto com gradiente zero é
. Mas
é um vértice do triângulo (fica sobre as restrições
e
), ou seja, não é um ponto interior estrito. Conclusão: não há pontos críticos no interior aberto de
. Logo os extremos ocorrem na fronteira de
.
Passo 3
Analisar cada lado (aresta) do triângulo separadamente. A ideia é reduzir cada aresta a uma função de uma variável e procurar extremos (incluindo extremos nos extremos — os vértices).
Aresta 1:
com
.
- Substituindo em
: . - Derivada em relação a
: . Isso mostra é monótona não-decrescente em . - Portanto mínimo na extremidade
e máximo em . - Valores:
e .
Passo 4
Aresta 2:
com
.
- Substituindo em
: . - Derivada:
. Logo é não-decrescente em . - Mínimo em
e máximo em . - Valores:
(já conhecido) e .
Passo 5
Aresta 3 (reta oblíqua):
. Parametrizamos escolhendo
como parâmetro:
Definimos a função de uma variável
Queremos extremos de
no intervalo. Calculamos a derivada (lembrando a regra da cadeia; se
, então
):
Colocando em forma polinomial para resolver
:
Expandindo
e substituindo:
Resolvendo a quadrática:
Duas raízes; numericamente:
A segunda raiz
está fora do intervalo
, então não serve. Ficamos com
Avaliar
nesse ponto (apresento uma aproximação numérica para comparar com os vértices):
Também devemos avaliar
nas extremidades do segmento, que correspondem aos vértices já conhecidos:
Passo 6
Comparar todos os candidatos (valores já calculados):
-
: . -
: . -
: . - Ponto interior da aresta oblíqua
: .
Observação simples e importante: como
e
em
, temos
e
, portanto
em todo
. Assim o menor valor possível é
, atingido em
. O maior valor entre os candidatos é
, atingido em
.
Conclusão: o máximo global é
em
e o mínimo global é
em
. Pontos como
e o ponto
são apenas valores intermediários (não são máximos globais).
Resposta
Máximo global: em
com valor
.
Mínimo global: em com valor
.
Mínimo global: em