Determine os pontos e os valores extremos da função
f(x, y)=x^{3}+y^{3}
restrito ao triângulo
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0, y \geq 0, \text { e } \frac{x}{2}+\frac{y}{4} \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{3}+y^{3} e pede os pontos e os valores extremos de f restrita ao triângulo
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: x\ge 0,\; y\ge 0,\; \tfrac{x}{2}+\tfrac{y}{4}\le 1\}.
Informações relevantes que temos (todas extraídas da descrição do conjunto A):
  • As desigualdades x\ge 0 e y\ge 0 e a reta \tfrac{x}{2}+\tfrac{y}{4}=1 determinam um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,4).
  • A função f é contínua e A é compacto (fechado e limitado), portanto f atinge máximo e mínimo em A.
    O que o enunciado pede: encontrar os pontos em A onde f atinge seus extremos (máximo e mínimo) e os valores de f nesses pontos.

Passo 2

Procurar pontos críticos no interior de A (isto é, pontos com x>0,\;y>0 e \tfrac{x}{2}+\tfrac{y}{4}<1).
Primeiro, calar a etapa teórica curta: para uma função de duas variáveis f(x,y), pontos críticos interiores são pontos onde o gradiente é zero, isto é onde \nabla f=(f_x,f_y)=(0,0). Aqui calculamos as derivadas parciais:
f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2},\qquad f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}.
Para anular ambas as componentes precisamos de
3x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=0,\qquad 3y^{2}=0\quad\Rightarrow\quad y=0.
Assim o único ponto com gradiente zero é (0,0). Mas (0,0) é um vértice do triângulo (fica sobre as restrições x=0 e y=0), ou seja, não é um ponto interior estrito. Conclusão: não há pontos críticos no interior aberto de A. Logo os extremos ocorrem na fronteira de A.

Passo 3

Analisar cada lado (aresta) do triângulo separadamente. A ideia é reduzir cada aresta a uma função de uma variável e procurar extremos (incluindo extremos nos extremos — os vértices).
Aresta 1: x=0 com y\in[0,4].
  • Substituindo em f: f(0,y)=y^{3}.
  • Derivada em relação a y: \dfrac{d}{dy}y^{3}=3y^{2}\ge 0. Isso mostra y^{3} é monótona não-decrescente em [0,4].
  • Portanto mínimo na extremidade y=0 e máximo em y=4.
  • Valores: f(0,0)=0 e f(0,4)=4^{3}=64.

Passo 4

Aresta 2: y=0 com x\in[0,2].
  • Substituindo em f: f(x,0)=x^{3}.
  • Derivada: \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}\ge 0. Logo x^{3} é não-decrescente em [0,2].
  • Mínimo em x=0 e máximo em x=2.
  • Valores: f(0,0)=0 (já conhecido) e f(2,0)=2^{3}=8.

Passo 5

Aresta 3 (reta oblíqua): \tfrac{x}{2}+\tfrac{y}{4}=1. Parametrizamos escolhendo x como parâmetro:
y=4-2x,\qquad x\in[0,2].
Definimos a função de uma variável
g(x)=f\bigl(x,\,4-2x\bigr)=x^{3}+(4-2x)^{3},\qquad x\in[0,2].
Queremos extremos de g no intervalo. Calculamos a derivada (lembrando a regra da cadeia; se h(x)=(4-2x)^{3}, então h'(x)=3(4-2x)^{2}\cdot(-2)=-6(4-2x)^{2}):
g'(x)=3x^{2}-6(4-2x)^{2}.
Colocando em forma polinomial para resolver g'(x)=0:
3x^{2}-6(4-2x)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-2(4-2x)^{2}=0.
Expandindo (4-2x)^{2}=16-16x+4x^{2} e substituindo:
x^{2}-2(16-16x+4x^{2})=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-32+32x-8x^{2}=0
\Rightarrow\quad -7x^{2}+32x-32=0 \quad\Rightarrow\quad 7x^{2}-32x+32=0.
Resolvendo a quadrática:
\Delta = (-32)^{2}-4\cdot7\cdot32=1024-896=128,
x=\frac{32\pm\sqrt{128}}{14}=\frac{32\pm 8\sqrt{2}}{14}=\frac{16\pm 4\sqrt{2}}{7}.
Duas raízes; numericamente:
x_{1}=\frac{16-4\sqrt{2}}{7}\approx 1{,}4777,\qquad x_{2}=\frac{16+4\sqrt{2}}{7}\approx 3{,}0937.
A segunda raiz x_{2} está fora do intervalo [0,2], então não serve. Ficamos com
x^{*}=\frac{16-4\sqrt{2}}{7},\qquad y^{*}=4-2x^{*}=\frac{8\sqrt{2}-4}{7}.
Avaliar g nesse ponto (apresento uma aproximação numérica para comparar com os vértices):
g(x^{*})= (x^{*})^{3}+(y^{*})^{3}\approx 1{,}4777^{3}+1{,}0446^{3}\approx 3{,}225+1{,}140\approx 4{,}365.
Também devemos avaliar g nas extremidades do segmento, que correspondem aos vértices já conhecidos:
g(0)=f(0,4)=64,\qquad g(2)=f(2,0)=8.

Passo 6

Comparar todos os candidatos (valores já calculados):
  • (0,0): f(0,0)=0.
  • (2,0): f(2,0)=8.
  • (0,4): f(0,4)=64.
  • Ponto interior da aresta oblíqua \bigl(x^{*},y^{*}\bigr)=\Bigl(\dfrac{16-4\sqrt{2}}{7},\dfrac{8\sqrt{2}-4}{7}\Bigr): f\approx 4{,}365.
Observação simples e importante: como x\ge 0 e y\ge 0 em A, temos x^{3}\ge 0 e y^{3}\ge 0, portanto f(x,y)\ge 0 em todo A. Assim o menor valor possível é 0, atingido em (0,0). O maior valor entre os candidatos é 64, atingido em (0,4).
Conclusão: o máximo global é 64 em (0,4) e o mínimo global é 0 em (0,0). Pontos como (2,0) e o ponto \bigl(x^{*},y^{*}\bigr) são apenas valores intermediários (não são máximos globais).

Resposta

Máximo global: em \,(0,4)\, com valor \,64\,.
Mínimo global: em \,(0,0)\, com valor \,0\,.

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