1. Determine os pontos X0=(x0, y0) do círculo x^2+y^2=1 nos quais a função f(x, y)= x^2-y^2-y assume um valor máximo;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos l(x0,y0r) sobre o círculo de equação
x^2+y^2=1
onde a função
f(x,y)=x^2-y^2-y
atinge seu valor máximo. O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdal(x^2+y^2-1r)
e impomos as condições de estacionaridade:
partialLpartial x=0, partialLpartial y=0, x^2+y^2=1

Passo 3

Calculando as derivadas parciais, obtemos
partialLpartial x =2x-2lambda x=0,
partialLpartial y =-2y-1-2lambda y=0,
juntamente com a restrição
x^2+y^2=1

Passo 4

Da primeira equação 2x(1-lambda)=0 surgem dois casos:
Caso A: x=0.
Então y^2=1, logo y=pm1. São dois pontos candidatos (0,1) e (0,-1).

Passo 5

Caso B: xneq0 implica lambda=1.
Substituindo em -2y-1-2lambda y=0 com lambda=1 temos
-2y-1-2y=0Longrightarrow -4y=1Longrightarrow y=-tfrac14
Então da restrição
x^2+l(-tfrac14r)^2=1 Longrightarrow x^2=1-tfrac116=tfrac1516
e
x=pmtfracraiz154
Isso gera dois pontos candidatos l(pmtfracraiz154,-,tfrac14r).

Passo 6

Agora avaliamos f em cada candidato:
  1. f(0,1)=0-1-1=-2.
  2. f(0,-1)=0-1+1=0.
  3. fl(pmtfracraiz154,-,tfrac14r) =tfrac1516-tfrac116-l(-tfrac14r) =tfrac1416+tfrac14 =tfrac78+tfrac28 =tfrac98
O maior valor é tfrac98, obtido em l(pmtfracraiz154,-,tfrac14r).

Resposta

l(x0,y0r) =l(tfracraiz154,-,tfrac14r) e l(x0,y0r) =l(-,tfracraiz154,-,tfrac14r)

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