Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos exercícios 31-40.
f(x, y)=sen x y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=sin(xy). Vamos usar regra da cadeia (derivada de sin(u) é cos(u),u') e regra do produto, pois o argumento é o produto xy.

Passo 2

Calculamos as derivadas de primeira ordem.
fx = partialpartial xsin(xy) = cos(xy),partialpartial x(xy) = ycos(xy)
fy = partialpartial ysin(xy) = cos(xy),partialpartial y(xy) = xcos(xy)

Passo 3

Derivada parcial segunda em relação a x duas vezes.
fxx = partialpartial xl(ycos(xy)r) = yl(-sin(xy)r),partialpartial x(xy) = -y^2sin(xy)

Passo 4

Derivada parcial segunda em relação a y duas vezes.
fyy = partialpartial yl(xcos(xy)r) = xl(-sin(xy)r),partialpartial y(xy) = -x^2sin(xy)

Passo 5

Derivada mista fxy:
fxy = partialpartial yl(ycos(xy)r) = cos(xy) + yl(-sin(xy)r),partialpartial y(xy) = cos(xy) - xysin(xy)

Passo 6

Verificação de fyx:
fyx = partialpartial xl(xcos(xy)r) = cos(xy) + xl(-sin(xy)r),partialpartial x(xy) = cos(xy) - xysin(xy),
logo fyx=fxy.

Resposta

fxx = -y^2sin(xy)
fyy = -x^2sin(xy)
fxy = fyx = cos(xy) - xysin(xy)

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