Encontre todas as derivadas de 2^a ordem das funções abaixo, e aplique elas no ponto indicado.
f(x, y, z)=5^x y^2 cotg(4 y+3 z), no ponto (0, pi2,-pi2).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=5^x,y^2,cotgl(4y+3zr)
e pede todas as derivadas parciais de segunda ordem (isto é, os elementos da matriz Hessiana) avaliadas no ponto l(0,tfracpi2,-tfracpi2r).
Conteúdo: diferenciação parcial de funções de várias variáveis e uso das fórmulas
ddu5^u=5^uln5,dducot u=-csc^2u,dducsc^2u=-2csc^2ucot u

Passo 2

Calcular partialxf e as derivadas de segunda ordem que envolvem x.
partialxf =partialpartial xl(5^x,y^2cotgthetar) =5^xln5;y^2cotgtheta,
onde theta=4y+3z.
No ponto dado 5^0=1 e theta=4cdottfracpi2+3cdot(-tfracpi2)=tfracpi2, logo cotgtheta=0.
partialxfl(0,tfracpi2,-tfracpi2r)=0
Em seguida
partialxxf =partialpartial xl(5^xln5,y^2cotgthetar) =5^x(ln5)^2,y^2cotgtheta
logo
partialxxf(0,tfracpi2,-tfracpi2)=0
Para a derivada mista
partialxyf =partialpartial yl(5^xln5,y^2cotgthetar) =5^xln5l(2ycotgtheta+y^2partialycotgthetar)
Como partialycotgtheta=-csc^2thetacdot4=-4 e cotgtheta=0, em y=tfracpi2 obtemos
partialxyf(0,tfracpi2,-tfracpi2) =ln5l(0 +(tfracpi2)^2cdot(-4)r) =-pi^2ln5
Analogamente
partialxzf =5^xln5,y^2,partialzcotgtheta =5^xln5,y^2cdot(-3),
pois partialzcotgtheta=-3. Logo
partialxzf(0,tfracpi2,-tfracpi2) =-3ln5;pi^24 =-3pi^24ln5

Passo 3

Calcular partialyf e as segundas parciais com y.
partialyf =5^xl(2ycotgtheta+y^2cdot(-csc^2theta)cdot4r) =5^xl(2ycotgtheta-4y^2csc^2thetar)
No ponto temos cotgtheta=0,;csc^2theta=1,;5^0=1,;y=tfracpi2, então
partialyf(0,tfracpi2,-tfracpi2) =0-4l(tfracpi2r)^2=-pi^2
Agora
partialyyf =5^xl[ underbrace2cotgtheta-8ycsc^2thetaA' +underbrace(-8ycsc^2theta+32y^2csc^2thetacotgtheta)B' r]
Em cotgtheta=0,;csc^2theta=1,;y=tfracpi2 cada parte dá -4pi, somando
partialyyf(0,tfracpi2,-tfracpi2)=-8pi
Para
partialyzf =partialpartial zl(5^x(2ycotgtheta-4y^2csc^2theta)r) =5^xl(2ycdot(-3)-4y^2cdot0r) =-6y,
pois partialzcsc^2theta=-6csc^2thetacotgtheta=0. Assim
partialyzf(0,tfracpi2,-tfracpi2)=-6cdottfracpi2=-3pi

Passo 4

Calcular e .
logo
E
que avaliado em

Resposta

partialxxf=0, partialxyf=-pi^2ln5, partialxzf=-tfrac3pi^24ln5,
partialyyf=-8pi, partialyzf=-3pi, partialzzf=0
todas avaliadas em l(0,tfracpi2,-tfracpi2r).

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