Analise se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas.
( ) Se dois vetores (
) são linearmente independentes então os vetores (
) são linearmente independentes (onde
é um terceiro vetor qualquer).
( ) Se dois vetores (
Passo 1
O enunciado pergunta se, num espaço vetorial, dado um par de vetores linearmente independentes
e
, o conjunto formado por esses dois vetores mais um terceiro vetor qualquer
também será sempre linearmente independente. O tópico envolvido é dependência linear de vetores e para responder vamos usar a definição de independência linear e buscar um contra-exemplo caso a proposição não seja válida.
Passo 2
Definição de independência linear: um conjunto de vetores
é linearmente independente se, na única solução da combinação
todos os coeficientes
forem zero. Caso exista alguma solução não trivial (isto é, com algum
), então o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Para refutar a afirmação “(dois vetores independentes) ⇒ (três vetores independentes)”, basta dar um contra-exemplo em um espaço onde seja possível ter três vetores, como
ou
. Considere em
:
Aqui
e
são independentes, mas vamos checar o conjunto
.
Passo 4
Verifiquemos se existe combinação não trivial que zera:
Ou seja,
com coeficientes não todos nulos. Logo
é linearmente dependente.
Resposta
Falso.