Analise se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas.
( ) Se dois vetores ( \vec{u}, \vec{v} ) são linearmente independentes então os vetores ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) são linearmente independentes (onde \vec{w} é um terceiro vetor qualquer).

Passo 1

O enunciado pergunta se, num espaço vetorial, dado um par de vetores linearmente independentes \vec{u} e \vec{v}, o conjunto formado por esses dois vetores mais um terceiro vetor qualquer \vec{w} também será sempre linearmente independente. O tópico envolvido é dependência linear de vetores e para responder vamos usar a definição de independência linear e buscar um contra-exemplo caso a proposição não seja válida.

Passo 2

Definição de independência linear: um conjunto de vetores \{\vec{x}_1,\dots,\vec{x}_k\} é linearmente independente se, na única solução da combinação
c_1\vec{x}_1 + \cdots + c_k\vec{x}_k = \vec{0}
todos os coeficientes c_i forem zero. Caso exista alguma solução não trivial (isto é, com algum c_i\neq0), então o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Para refutar a afirmação “(dois vetores independentes) ⇒ (três vetores independentes)”, basta dar um contra-exemplo em um espaço onde seja possível ter três vetores, como \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3. Considere em \mathbb{R}^2:
\vec{u} = (1,0), \quad \vec{v} = (0,1), \quad \vec{w} = (1,1).
Aqui \vec{u} e \vec{v} são independentes, mas vamos checar o conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}.

Passo 4

Verifiquemos se existe combinação não trivial que zera:
\vec{u} + \vec{v} - \vec{w} = (1,0) + (0,1) - (1,1) = (1+0-1,\,0+1-1) = (0,0).
Ou seja, 1\cdot\vec{u} + 1\cdot\vec{v} + (-1)\cdot\vec{w} = \vec{0} com coeficientes não todos nulos. Logo \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é linearmente dependente.

Resposta

Falso.

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