Determine a posição r(t) em cada caso, sabendo a velocidade e a posição inicial:
r^prime(t)=(t, 2) e r(0)=(1,1);

Passo 1

A questão pede para encontrar a posição vec r(t) de um objeto sabendo sua velocidade vec r'(t) = (t,2) e a posição inicial vec r(0) = (1,1). O conteúdo envolve funções vetoriais e integração componente a componente.

Passo 2

Para obter vec r(t) a partir de vec r'(t), vamos integrar cada componente da velocidade em relação a t, gerando constantes de integração.
Integrando componente a componente: a primeira componente satisfaz integral t,dt = tfract^22 + C1 e a segunda satisfaz integral 2,dt = 2t + C2. Assim, vec r(t) = (tfract^22 + C1,;2t + C2).

Passo 3

Aplicando a condição inicial vec r(0) = (1,1) temos tfrac0^22 + C1 = 1 e 2cdot0 + C2 = 1, logo C1 = 1 e C2 = 1.

Passo 4

Substituindo as constantes em vec r(t), obtemos a expressão final da posição.

Resposta

vec r(t) = l(tfract^22 + 1,;2t + 1r)

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