Seja F: A R^n derivável e tal que |F(t)|=k, forall t in A, onde k é constante. Prove que F(t) cdot F^prime(t)=0, forall t in R. Dê uma interpretação geométrica desse resultado no caso n=2.
(Dica: Lembre-se que |F(t)|^2=F(t) cdot F(t). Use a hipótese e derive.)

Passo 1

O enunciado dá uma função vetorial diferenciável vec F:Ato R^n tal que |vec F(t)|=k é constante. O que se pede é mostrar que vec F(t)cdotvec F'(t)=0 para todo t. Vamos usar a relação entre norma e produto escalar e a regra da derivada do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, note que |vec F(t)|^2=vec F(t)cdotvec F(t). Como |vec F(t)|=k é constante, temos
|vec F(t)|^2=k^2,,
e, portanto,
ddtl(vec F(t)cdotvec F(t)r)=ddt(k^2)=0,

Passo 3

Aplicando a regra da derivada do produto escalar no lado esquerdo, obtemos
ddtl(vec F(t)cdotvec F(t)r)=vec F'(t)cdotvec F(t)+vec F(t)cdotvec F'(t)=2,vec F(t)cdotvec F'(t),
Igualando a zero, vem
2,vec F(t)cdotvec F'(t)=0Longrightarrowvec F(t)cdotvec F'(t)=0,,
o que era o que queríamos provar.

Passo 4

No caso n=2, a curva vec F(t) está confinada ao círculo de raio k centrado na origem. O vetor vec F'(t) é a velocidade (vetor tangente) à trajetória, e vec F(t)cdotvec F'(t)=0 diz justamente que o raio (vetor posição) é ortogonal à tangente em todo ponto do círculo. Portanto, o movimento é sempre perpendicular ao raio, como esperado para uma circunferência.

Resposta

Mostramos que vec F(t)cdotvec F'(t)=0 para todo t. Geometricamente, em R^2 a trajetória está em um círculo de raio k e o vetor velocidade vec F'(t) é ortogonal ao vetor posição vec F(t) (isto é, tangente ao círculo).

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