Seja
derivável e tal que
, onde
é constante. Prove que
. Dê uma interpretação geométrica desse resultado no caso
.
(Dica: Lembre-se que
. Use a hipótese e derive.)
(Dica: Lembre-se que
Passo 1
O enunciado dá uma função vetorial diferenciável
tal que
é constante. O que se pede é mostrar que
para todo
. Vamos usar a relação entre norma e produto escalar e a regra da derivada do produto escalar.
Passo 2
Primeiro, note que
. Como
é constante, temos
e, portanto,
Passo 3
Aplicando a regra da derivada do produto escalar no lado esquerdo, obtemos
Igualando a zero, vem
o que era o que queríamos provar.
Passo 4
No caso
, a curva
está confinada ao círculo de raio
centrado na origem. O vetor
é a velocidade (vetor tangente) à trajetória, e
diz justamente que o raio (vetor posição) é ortogonal à tangente em todo ponto do círculo. Portanto, o movimento é sempre perpendicular ao raio, como esperado para uma circunferência.
Resposta
Mostramos que
para todo
. Geometricamente, em
a trajetória está em um círculo de raio
e o vetor velocidade
é ortogonal ao vetor posição
(isto é, tangente ao círculo).