Determine o plano \pi que contém por M=(1,2,-3) e é paralelo às retas
r:\left\{\begin{array}{l} x+3 y-2 z-1=0 \\\\ 2 x-y+3 z+4=0 \end{array}, s:\left\{\begin{array}{l} 3 x-y+2=0 \\\ x+2 y-3 z+7=0 \end{array}\right.\right.

Passo 1

O problema pede: determinar o plano [\pi) que passa pelo ponto \(M=(1,2,-3)) e que é paralelo às retas r e s dadas. Dados do enunciado que vamos usar:
r:\begin{cases} x+3y-2z-1=0,\\[4pt] 2x-y+3z+4=0, \end{cases} \qquad s:\begin{cases} 3x-y+2=0,\\[4pt] x+2y-3z+7=0. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
M=(1,2,-3).
As retas r\] e \(s são interseções de pares de planos (cada reta é interseção de duas equações lineares). Para encontrar o plano pedido vamos precisar das direções dessas retas (vetores diretores) e de um vetor normal ao plano buscado.]

Passo 2

Encontrar o vetor diretor de r\). Observação: a direção de \(r\) é a solução do sistema homogêneo obtido ao anular as constantes das equações (ou seja, tomar as partes lineares igual a zero). Assim resolvemos \[\begin{cases} x+3y-2z=0,\\[4pt] 2x-y+3z=0. \end{cases}
Vou resolver passo a passo.
Da primeira equação temos
x = -3y + 2z.
Substituindo na segunda:
2(-3y+2z)-y+3z=0 \Rightarrow -6y+4z-y+3z=0 \Rightarrow -7y+7z=0.
Logo \, -7y+7z=0 \Rightarrow z=y.\] Substituindo em \(x=-3y+2z
x = -3y+2y = -y.
Portanto um vetor diretor de r é, tomando y=1,
\vec{v}_r = (-1,\,1,\,1).
Obs.: qualquer múltiplo escalar de \vec{v}_r também é vetor diretor de r.]

Passo 3

Encontrar o vetor diretor de s\). Fazemos o mesmo procedimento para o sistema homogêneo correspondente às partes lineares: \[\begin{cases} 3x-y=0,\\[4pt] x+2y-3z=0. \end{cases}
Da primeira equação obtemos y=3x\]. Substituindo na segunda: \[x + 2(3x) - 3z = 0 \Rightarrow x + 6x - 3z = 0 \Rightarrow 7x = 3z.\] Assim \(z = \dfrac{7}{3}x. Para evitar frações escolhemos x=3, então y=9 e z=7. Portanto um vetor diretor de s é
\vec{v}_s = (3,\,9,\,7).
Obs.: novamente qualquer múltiplo escalar de \vec{v}_s serve como vetor diretor.]

Passo 4

Como o plano \pi é paralelo a ambas as retas, os vetores diretores \vec{v}_r e \vec{v}_s estão contidos em \pi. Logo um vetor normal \vec{n} ao plano é ortogonal a esses dois vetores diretores; podemos obtê-lo com o produto vetorial
\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s.
Recordando a fórmula do produto vetorial: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\times\vec{b} = \bigl(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Aplicando com \vec{v}_r = (-1,1,1) e \vec{v}_s=(3,9,7) temos:
\begin{aligned} n_1 &= 1\cdot 7 - 1\cdot 9 = 7-9 = -2,\\[4pt] n_2 &= 1\cdot 3 - (-1)\cdot 7 = 3+7 = 10,\\[4pt] n_3 &= (-1)\cdot 9 - 1\cdot 3 = -9-3 = -12. \end{aligned}
Portanto
\vec{n}=(-2,\,10,\,-12).
Podemos simplificar dividindo por -2 (qualquer múltiplo não-nulo também é normal), obtendo um vetor normal mais simples:
\vec{n}=(1,\,-5,\,6).]

Passo 5

Usar a forma ponto-normal do plano. Se \vec{n}=(A,B,C) é normal e M=(x_0,y_0,z_0) é ponto do plano, a equação do plano é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Aqui \vec{n}=(1,-5,6) e M=(1,2,-3). Substituindo:
1\cdot(x-1) -5\cdot(y-2) +6\cdot(z+3)=0.
Agora expandimos e simplificamos passo a passo:
x-1 -5y +10 +6z +18 = 0.
Somando os termos constantes -1+10+18=27, obtemos
x -5y +6z +27 = 0.

Passo 6

Verificações rápidas (boa prática para a prova): confirmar que \vec{v}_r e \vec{v}_s são ortogonais a \vec{n} e que M pertence ao plano.
Produto escalar \vec{v}_r\cdot\vec{n}=(-1,1,1)\cdot(1,-5,6) = -1 -5 +6 = 0. OK.
Produto escalar \vec{v}_s\cdot\vec{n}=(3,9,7)\cdot(1,-5,6)=3 -45 +42 = 0. OK.
Substituindo M na equação do plano: 1 -5\cdot2 +6\cdot(-3) +27 = 1-10-18+27=0. OK — o ponto M pertence ao plano.
Tudo confere, então a equação encontrada está correta.

Resposta

x-5y+6z+27=0

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