As retas r\] e \(s são interseções de pares de planos (cada reta é interseção de duas equações lineares). Para encontrar o plano pedido vamos precisar das direções dessas retas (vetores diretores) e de um vetor normal ao plano buscado.]
Passo 2
Encontrar o vetor diretor de r\). Observação: a direção de \(r\) é a solução do sistema homogêneo obtido ao anular as constantes das equações (ou seja, tomar as partes lineares igual a zero). Assim resolvemos
\[\begin{cases} x+3y-2z=0,\\[4pt] 2x-y+3z=0. \end{cases}
Logo \, -7y+7z=0 \Rightarrow z=y.\] Substituindo em \(x=-3y+2z dá
x = -3y+2y = -y.
Portanto um vetor diretor de r é, tomando y=1,
\vec{v}_r = (-1,\,1,\,1).
Obs.: qualquer múltiplo escalar de \vec{v}_r também é vetor diretor de r.]
Passo 3
Encontrar o vetor diretor de s\). Fazemos o mesmo procedimento para o sistema homogêneo correspondente às partes lineares:
\[\begin{cases} 3x-y=0,\\[4pt] x+2y-3z=0. \end{cases}
Da primeira equação obtemos y=3x\]. Substituindo na segunda:
\[x + 2(3x) - 3z = 0 \Rightarrow x + 6x - 3z = 0 \Rightarrow 7x = 3z.\]
Assim \(z = \dfrac{7}{3}x. Para evitar frações escolhemos x=3, então y=9 e z=7. Portanto um vetor diretor de s é
\vec{v}_s = (3,\,9,\,7).
Obs.: novamente qualquer múltiplo escalar de \vec{v}_s serve como vetor diretor.]
Passo 4
Como o plano \pi é paralelo a ambas as retas, os vetores diretores \vec{v}_r e \vec{v}_s estão contidos em \pi. Logo um vetor normal \vec{n} ao plano é ortogonal a esses dois vetores diretores; podemos obtê-lo com o produto vetorial
\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s.
Recordando a fórmula do produto vetorial: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),