Determine a posição relativa entre os planos:
3 x+2 y-4 z+7=0 \quad \text { e } \quad 2 x+4 y-2 z+1=0 \quad \text { e } \quad 7 x+10 y-8 z-9=0
a. Dois dos planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas
b. Os três planos coincidem
c. Os três planos são distintos e se intersectam ao longo de uma reta
d. Os três planos têm um único ponto em comum
e. Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta ao longo de uma reta
Of. Os planos são paralelos dois a dois
g. Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas paralelas entre si
Oh. Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre os três planos
P_1:\;3x+2y-4z+7=0,\quad P_2:\;2x+4y-2z+1=0,\quad P_3:\;7x+10y-8z-9=0.
O conteúdo usado será: vetores normais, teste de paralelismo (proporcionalidade de normais), determinante para independência dos normais e análise de consistência.

Passo 2

Calculamos os vetores normais:
\mathbf{n}_1=(3,2,-4),
\mathbf{n}_2=(2,4,-2),
\mathbf{n}_3=(7,10,-8).
Para ver se algum par de planos é paralelo, verificamos se algum \mathbf{n}_i é múltiplo escalar de outro. Como
\frac{3}{2}\neq\frac{2}{4}\neq\frac{-4}{-2}, \quad \frac{3}{7}\neq\frac{2}{10}\neq\frac{-4}{-8}, \quad \frac{2}{7}\neq\frac{4}{10}\neq\frac{-2}{-8},
nenhum par de normais é proporcional. Logo, nenhum par de planos é paralelo.

Passo 3

Colocamos as normais em linhas de uma matriz e calculamos seu determinante:
\det\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4\\\\ 2 & 4 & -2\\\\ 7 & 10 & -8 \end{pmatrix} =0.
Como o determinante é zero, \mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2,\mathbf{n}_3 são linearmente dependentes. Isso indica que ou todos os planos coincidem numa reta comum ou não têm interseção tripla.

Passo 4

Achamos a dependência linear
-1\cdot\mathbf{n}_1\;-\;2\cdot\mathbf{n}_2\;+\;1\cdot\mathbf{n}_3=0.
Aplicando a mesma combinação às equações dos planos temos
-1\,(3x+2y-4z+7)\;-\;2\,(2x+4y-2z+1)\;+\;(7x+10y-8z-9)=-18=0,
que é impossível. Isso significa que não existe ponto comum aos três planos. Como cada par de planos (não paralelos) se intersecta numa reta, e essas retas têm direção \mathbf{n}_i\times\mathbf{n}_j, mas todas as \mathbf{n}_i estão num mesmo plano, segue que
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2, \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_3 e \mathbf{n}_2\times\mathbf{n}_3 são paralelas. Assim, os planos intersectam-se dois a dois em três retas paralelas.

Resposta

g. Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas paralelas entre si.

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