a. Dois dos planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas
b. Os três planos coincidem
c. Os três planos são distintos e se intersectam ao longo de uma reta
d. Os três planos têm um único ponto em comum
e. Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta ao longo de uma reta
Of. Os planos são paralelos dois a dois
g. Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas paralelas entre si
Oh. Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles
Passo 1
O enunciado pede a posição relativa entre os três planos
O conteúdo usado será: vetores normais, teste de paralelismo (proporcionalidade de normais), determinante para independência dos normais e análise de consistência.
Passo 2
Calculamos os vetores normais: \mathbf{n}_1=(3,2,-4), \mathbf{n}_2=(2,4,-2), \mathbf{n}_3=(7,10,-8).
Para ver se algum par de planos é paralelo, verificamos se algum \mathbf{n}_i é múltiplo escalar de outro. Como
Como o determinante é zero, \mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2,\mathbf{n}_3 são linearmente dependentes. Isso indica que ou todos os planos coincidem numa reta comum ou não têm interseção tripla.
que é impossível. Isso significa que não existe ponto comum aos três planos. Como cada par de planos (não paralelos) se intersecta numa reta, e essas retas têm direção \mathbf{n}_i\times\mathbf{n}_j, mas todas as \mathbf{n}_i estão num mesmo plano, segue que \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2, \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_3 e \mathbf{n}_2\times\mathbf{n}_3 são paralelas. Assim, os planos intersectam-se dois a dois em três retas paralelas.
Resposta
g. Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas paralelas entre si.