Questão 1 (7 pontos). Considere as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\\\ -1 & 1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\\\ 2 & 2 & -1 \\\\ -1 & 0 & 0\end{array}\right).
(a) Calcule as inversas A^{-1} e B^{-1}.
(b) Calcule a inversa de B^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\\\ 2 & 2 & -1 \\\\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}
e pede A^{-1}, B^{-1} e (B^2)^{-1}.
Os conteúdos envolvidos são: fórmula de inversa para matrizes 2\times2, eliminação de Gauss–Jordan para matrizes 3\times3 e a propriedade
(B^2)^{-1} = \bigl(B^{-1}\bigr)^2.

Passo 2

Para A\in\mathbb{R}^{2\times2} usamos a fórmula
\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Calculamos
\det(A) = 3\cdot1 - 2\cdot(-1) = 5,
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A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}.

Passo 3

Para inverter B montamos o ampliado (B\mid I) e aplicamos Gauss–Jordan. Após as operações de linha adequadas obtemos
B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Usamos a propriedade de inversos
(B^2)^{-1} = B^{-1}\,B^{-1}.
Multiplicando
B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}
por si mesma, achamos
(B^2)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ -3 & 2 & 2\\\\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}
B^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 0 & -1 \\\\ -1 & 1 & 1 \\\\ -2 & 1 & 0\end{pmatrix}
(B^2)^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\\\ -3 & 2 & 2 \\\\ -1 & 1 & 3\end{pmatrix}

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