Determine o valor de m e n para que os três planos \pi_{1}:-x+2 y-3 z+5=0, \pi_{2}: 2 x-4 y-4 z+7=0 e \pi_{3}: m x-14 y+z+n=0 se intersectem dois a dois, segundo retas paralelas entre si.
Escolha uma opção:
O a. m \neq 1 e n qualquer valor real
b. m=7 e n \neq-1
c. m=1 e n=29
d. m=7 e n=-1
e. m=1 e n \neq 29
f. m \neq 7 e n qualquer valor real

Passo 1

O enunciado dá três planos em \mathbb{R}^3
\pi_1: -x+2y-3z+5=0,\quad \pi_2: 2x-4y-4z+7=0,\quad \pi_3: m x-14y+z+n=0
e pede m e n para que cada par de planos se intersecte segundo uma reta, e que essas três retas sejam paralelas entre si. O conteúdo envolvido é a direção da reta de interseção de dois planos: se N_i e N_j são seus vetores normais, então a reta de interseção tem direção N_i\times N_j. Para que três retas sejam todas paralelas, basta que
N_1,\;N_2,\;N_3
sejam vetores coplanares (isto garante que todos os produtos vetoriais N_i\times N_j sejam proporcionais).

Passo 2

Os vetores normais são
N_1 = (-1,2,-3),\quad N_2 = (2,-4,-4),\quad N_3 = (m,-14,1).
A condição de coplanaridade é
\det\bigl[N_1,N_2,N_3\bigr]=0.
Calculando esse determinante por expansão, obtém-se
\det = 140 -20m=0 \quad\Longrightarrow\quad m=7.

Passo 3

Com m=7, os três produtos vetoriais têm direções proporcionais, logo as três interseções são retas paralelas. Resta garantir que as três retas sejam distintas (e não coincidam todas numa única reta). Isso acontece se e somente se \pi_3 não for combinação linear exata de \pi_1 e \pi_2. Verifica-se que a combinação que iguala os normais exige também
n=-1.
Para evitar coincidência das retas, precisamos de
n\neq -1.

Resposta

m=7 e n \neq -1 (opção b)

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