Determine o valor de
e
para que os três planos
,
e
se intersectem dois a dois, segundo retas paralelas entre si.
Escolha uma opção:
O a.
e
qualquer valor real
b.
e
c.
e
d.
e
e.
e
f.
e
qualquer valor real
O a.
b.
c.
d.
e.
f.
Passo 1
O enunciado dá três planos em
e pede
e
para que cada par de planos se intersecte segundo uma reta, e que essas três retas sejam paralelas entre si. O conteúdo envolvido é a direção da reta de interseção de dois planos: se
e
são seus vetores normais, então a reta de interseção tem direção
. Para que três retas sejam todas paralelas, basta que
sejam vetores coplanares (isto garante que todos os produtos vetoriais
sejam proporcionais).
Passo 2
Os vetores normais são
A condição de coplanaridade é
Calculando esse determinante por expansão, obtém-se
Passo 3
Com
, os três produtos vetoriais têm direções proporcionais, logo as três interseções são retas paralelas. Resta garantir que as três retas sejam distintas (e não coincidam todas numa única reta). Isso acontece se e somente se
não for combinação linear exata de
e
. Verifica-se que a combinação que iguala os normais exige também
Para evitar coincidência das retas, precisamos de