Determine a posição relativa das retas r_{1} e r_{2}.
r_{1}: x=1+7 t, y=3+t, z=5-3 t r_{2}: x=4-s, y=6, z=7+2 s

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa das retas
r_{1}:\;x=1+7t,\;y=3+t,\;z=5-3t
r_{2}:\;x=4-s,\;y=6,\;z=7+2s
Este é um problema de geometria analítica no espaço. Para resolver, precisamos obter os vetores direção de cada reta, verificar se são paralelos e, se não forem, testar se há interseção (solução comum para os parâmetros).

Passo 2

Extraímos os vetores direção:
\vec v_{1}=(7,1,-3), \quad \vec v_{2}=(-1,0,2).
Verificamos se são paralelos tentando ver se existe \lambda tal que \vec v_{1}=\lambda\,\vec v_{2}.
Pelas componentes, precisaríamos de
7=\lambda\cdot(-1),\quad 1=\lambda\cdot0,\quad -3=\lambda\cdot2.
A segunda equação exigiria 1=0, impossível. Logo, as retas não são paralelas.

Passo 3

Como não são paralelas, investigamos se se intersectam. Igualamos as coordenadas:
  1. 1+7t=4-s
  2. 3+t=6
  3. 5-3t=7+2s
Da equação 2) obtemos t=3. Substituindo em 1) fica
1+7\cdot3=4-s \;\Longrightarrow\; 22=4-s \;\Longrightarrow\; s=-18.
Em seguida, na equação 3) com t=3 e s=-18:
5-3\cdot3=5-9=-4, \quad 7+2(-18)=7-36=-29,
como -4\neq-29, não há solução comum. Logo, as retas não se intersectam.

Passo 4

Concluímos que as retas não são paralelas (vetores direção não colineares) e também não se intersectam (nenhum par (t,s) satisfaz simultaneamente as três equações).

Resposta

As retas r_{1} e r_{2} são retas reversas (não paralelas e sem ponto em comum).

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