Determine a posição relativa das retas r_{1} e r_{2}.
r_{1}: x=2+t, y=-3-t, z=t r_{2}: x=\frac{1}{2}(3 s+1), y=s-1, z=\frac{1}{3} s

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3 em forma paramétrica:
r_{1}:\;x=2+t,\;y=-3-t,\;z=t
r_{2}:\;x=\tfrac12(3s+1),\;y=s-1,\;z=\tfrac13s
O objetivo é determinar a posição relativa entre elas: podem ser coincidentes, paralelas distintas, concorrentes (intersectantes) ou reversas (skew). Para isso, vamos extrair os vetores diretores, testar paralelismo e, se não forem paralelas, checar interseção.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores e um ponto de cada reta:
Para r_{1}, ponto P_0=(2,-3,0) e vetor diretor
\mathbf v_1=(1,\,-1,\,1).
Para r_{2}, escrevemos
x=\tfrac12+ \tfrac32\,s,\quad y=-1+1\cdot s,\quad z=0+\tfrac13\,s,
logo o ponto Q_0=(\tfrac12,-1,0) e o vetor diretor
\mathbf v_2=\bigl(\tfrac32,\,1,\,\tfrac13\bigr).
Testamos se \mathbf v_1 e \mathbf v_2 são proporcionais, ou seja, se existe \lambda tal que
(1,\,-1,\,1)=\lambda\bigl(\tfrac32,\,1,\,\tfrac13\bigr).
Comparando coordenadas temos
\frac{1}{3/2}=\frac{2}{3},\quad\frac{-1}{1}=-1,\quad\frac{1}{1/3}=3,
que não são iguais, então as retas não são paralelas.

Passo 3

Como não são paralelas, verificamos se se intersectam resolvendo
P_0+t\mathbf v_1 \;=\;Q_0+s\mathbf v_2.
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2+t=\tfrac12+\tfrac32\,s,\\\\ -3-t=-1+s,\\\ t=\tfrac13\,s. \end{cases}
Da primeira e da terceira equações obtemos
t=\tfrac13s \quad\text{e}\quad t=\tfrac32\,(s-1),
que levam a s=\tfrac97 e t=\tfrac37. Substituindo na segunda equação dá
-3-\tfrac37 \;\neq\; -1+\tfrac97,
logo não há solução comum. Portanto, as retas não se intersectam.

Resposta

As retas r_{1} e r_{2} são reversas (skew).

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