Determine a posição relativa das retas r_{1} e r_{2}.
r_{1}: x=2+t, y=4-2 t, z=1+3 t r_{2}: x=-1+4 s, y=3-s, z=2+2 s

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3 definidas parametricamente:
r_{1}:\;x=2+t,\;y=4-2t,\;z=1+3t
r_{2}:\;x=-1+4s,\;y=3-s,\;z=2+2s
O objetivo é determinar se elas são paralelas, coincidentes ou se interceptam (concorrentes). Para isso, vamos obter os vetores diretores de cada reta, testar paralelismo e, se não forem paralelas, resolver o sistema para ver se há interseção.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta a partir dos coeficientes de t e s:
\mathbf{v}_{1} = (1,\,-2,\,3), \quad \mathbf{v}_{2} = (4,\,-1,\,2).
Também identificamos um ponto em cada reta, por exemplo, para t=0 e s=0:
P_{1}=(2,4,1), \quad P_{2}=(-1,3,2).

Passo 3

Testamos se \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} são proporcinais, ou seja, se existe \lambda tal que \mathbf{v}_{2} = \lambda \mathbf{v}_{1}.
Comparando componentes:
4 = \lambda\cdot1,\quad -1=\lambda\cdot(-2),\quad 2=\lambda\cdot3.
Da primeira vem \lambda=4, mas então a segunda exigiria -1=-8, o que é falso. Logo, as retas não são paralelas.

Passo 4

Para ver se elas se intersectam, igualamos as coordenadas:
2+t = -1+4s, \quad 4-2t = 3-s, \quad 1+3t = 2+2s.
Da primeira equação obtemos
t = -3 + 4s.
Substituindo na segunda:
4 - 2(-3+4s) = 3 - s \;\Longrightarrow\; 4 +6 -8s = 3 - s \;\Longrightarrow\; 10 -8s = 3 - s \;\Longrightarrow\; -8s + s = 3 -10 \;\Longrightarrow\; -7s = -7 \;\Longrightarrow\; s = 1.

Passo 5

Com s=1, vem t = -3 + 4\cdot1 = 1. Verificamos na terceira equação:
1+3\cdot1 = 4, \quad 2+2\cdot1 = 4,
logo está satisfeita. O ponto de interseção é dado por t=1 em r_{1} (ou s=1 em r_{2}):
P = (2+1,\;4-2,\;1+3) = (3,\,2,\,4).

Resposta

As retas r_{1} e r_{2} não são paralelas e interceptam-se em um único ponto, P=(3,2,4). Portanto, são concorrentes.

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