Questão 3
Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).
Determine a posição relativa entre as retas:
r:\left\{\begin{array}{ll}x & =1+2 k \\\ y & =2+k \\\ z & =3-3 k\end{array}, k \in \mathbb{R} \mathrm{e}\right.
s: X=(3,3,0)+\lambda(1,2,3), \lambda \in \mathbb{R}.
Escolha uma opção:
a. Perpendiculares
b. Reversas
c. Somente Concorrentes
d. Coincidentes
e. Paralelas Distintas

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica:
r:
\begin{cases} x = 1 + 2k,\\\ y = 2 + k,\\\ z = 3 - 3k, \end{cases} \quad k\in\mathbb{R}
e
s:
\mathbf{X} = (3,3,0) + \lambda\,(1,2,3), \quad \lambda\in\mathbb{R}.
O conteúdo é posição relativa de retas em \mathbb{R}^3. Vamos precisar extrair os vetores diretores, testar parallelismo e perpendicularidade, e depois verificar se existe ponto comum (interseção).

Passo 2

O vetor diretor de r é
\mathbf{d}_r = (2,\,1,\,-3),
e o de s é
\mathbf{d}_s = (1,\,2,\,3).
Para testar se são paralelas, vemos se \mathbf{d}_r = t\,\mathbf{d}_s para algum t. Igualando coordenadas:
2 = t,
1 = 2t \to 1 = 4, impossível.
Logo não são paralelas.
Para testar perpendicularidade, calculamos o produto escalar:
\mathbf{d}_r \cdot \mathbf{d}_s = 2\cdot1 + 1\cdot2 + (-3)\cdot3 = 2 + 2 - 9 = -5 \neq 0.
Portanto não são perpendiculares.

Passo 3

Para ver se se intersectam, igualamos coordenadas de r e s:
1 + 2k = 3 + \lambda 2 + k = 3 + 2\lambda 3 - 3k = 0 + 3\lambda.
Da primeira equação vem
\lambda = 1 + 2k - 3 = 2k - 2.
Substituindo na segunda:
2 + k = 3 + 2(2k - 2) = 3 + 4k - 4 = 4k - 1 \;\Longrightarrow\; 2 + k = 4k - 1 \;\Longrightarrow\; -3k = -3 \;\Longrightarrow\; k = 1.
Então \lambda = 2\cdot1 - 2 = 0.
Na terceira equação:
3 - 3\cdot1 = 0 e 3\lambda = 0, consistente.
Logo há um ponto comum, obtido em k=1, \lambda=0, que é (3,3,0).

Passo 4

Como os vetores diretores não são múltiplos entre si (não paralelas) e existe exatamente um ponto comum, as retas se cruzam em um único ponto. Ou seja, são concorrentes.

Resposta

c. Somente Concorrentes

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