Determine a posição relativa das retas a seguir, no caso das concorrentes determine o ponto de interseção.
r: 2 x+3 y=1 e s: 4 x+6 y=3;

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma geral:
r: 2x + 3y = 1
s: 4x + 6y = 3
O objetivo é determinar se elas são paralelas, coincidentes ou concorrentes. Para isso, vamos usar conceito de coeficiente angular (inclinação) e comparação de proporções entre coeficientes.

Passo 2

Calculamos o coeficiente angular de cada reta isolando y:
Para r:
2x + 3y = 1 implies y = -23x + 13,
logo mr = -23.
Para s:
4x + 6y = 3 implies y = -46x + 36 = -23x + 12,
logo ms = -23.

Passo 3

Como mr = ms, as retas ou são coincidentes ou são paralelas distintas. Para decidir, comparamos as proporções dos coeficientes de x, de y e dos termos constantes:
24 = 12, 36 = 12, 13 = 13
Vemos que tfrac24 = tfrac36 = tfrac12 mas tfrac13 neq tfrac12. Falta igualdade no termo independente, então NÃO são coincidentes.

Resposta

As retas são paralelas distintas; não há ponto de interseção.

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