Usando argumentos geométricos, determine a equação reta tangente à parábola
no ponto
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a parábola
e o ponto sobre ela. Queremos achar a reta tangente em
usando argumentos geométricos baseados na propriedade que diz que o tangente bisecta o ângulo entre o foco e a perpendicular à diretriz.
e o ponto
Passo 2
Escrevemos
em forma canônica completando o quadrado em
:
Daí o vértice é
, temos
logo
.
O foco é
O foco é
e a diretriz é
Passo 3
A reta
liga
a
. Sua inclinação é
A diretriz
é vertical, então a reta perpendicular a ela passando por
é horizontal, com inclinação
Passo 4
O tangente em
bisecta o ângulo formado pelas retas de inclinações
e
. A medida desse ângulo é
Como
, temos
e
.
A inclinação da bissetriz é
A inclinação da bissetriz é
Portanto o coeficiente angular da reta tangente é
Passo 5
Usamos a forma ponto-inclinação com
e
:
que simplifica para
Resposta
A equação da reta tangente à parábola em
é