Usando argumentos geométricos, determine a equação reta tangente à parábola P: y^2-4 y+6 x- 8=0 no ponto T(-4,-4)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a parábola
Pcolon y^2-4y+6x-8=0
e o ponto T(-4,-4) sobre ela. Queremos achar a reta tangente em T usando argumentos geométricos baseados na propriedade que diz que o tangente bisecta o ângulo entre o foco e a perpendicular à diretriz.

Passo 2

Escrevemos P em forma canônica completando o quadrado em y:
y^2-4y+6x-8=(y-2)^2-4+6x-8=(y-2)^2+6x-12=0
Longrightarrow;(y-2)^2=-6(x-2)
Daí o vértice é (2,2), temos 4p=-6 logo p=-tfrac32.
O foco é
F=(2+p,,2)=l(2-tfrac32,,2r)=l(tfrac12,,2r),
e a diretriz é
x=2-p=2+tfrac32=tfrac72

Passo 3

A reta FT liga T(-4,-4) a F(tfrac12,2). Sua inclinação é
mFT =2-(-4)tfrac12-(-4) =6tfrac92 =6cdot29 =129 =43
A diretriz x=tfrac72 é vertical, então a reta perpendicular a ela passando por T é horizontal, com inclinação
mperp=0

Passo 4

O tangente em T bisecta o ângulo formado pelas retas de inclinações mperp=0 e mFT=tfrac43. A medida desse ângulo é
alpha=arctan!l(tfrac43-01+0cdottfrac43r) =arctan!l(tfrac43r)
Como tanalpha=tfrac43, temos sinalpha=tfrac45 e cosalpha=tfrac35.
A inclinação da bissetriz é
tanalpha2 =sinalpha1+cosalpha =tfrac451+tfrac35 =tfrac45tfrac85 =12
Portanto o coeficiente angular da reta tangente é
m=tfrac12

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação com m=tfrac12 e T(-4,-4):
y-(-4)=tfrac12l(x-(-4)r) Longrightarrow y+4=tfrac12(x+4),
que simplifica para
y=tfrac12x-2

Resposta

A equação da reta tangente à parábola em T é
boxedy=tfrac12x-2

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