Dado a parábola de diretriz d:-x+y-14=0 e foco F(6,8) determine as extremidades de sua corda principal.

Passo 1

O enunciado dá uma parábola definida pela directriz
d:;-x+y-14=0
e pelo foco F(6,8). Pede-se as extremidades da corda principal (também chamada de latus rectum), que é a reta que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo da parábola. Para resolver, vamos:
  1. encontrar o eixo (reta perpendicular à directriz que passa em F);
  2. obter a latus rectum (reta perpendicular ao eixo que passa em F);
  3. achar as interseções dessa reta com a parábola impondo igualdade de distâncias ao foco e à directriz.

Passo 2

Como a directriz é d:-x+y-14=0, um vetor normal a d é
n=(-1,1)
O eixo da parábola tem a mesma direção de n e passa em F(6,8), logo em forma paramétrica:
ell:;(x,y)=(6,8)+t(-1,1)
Em coordenadas cartesianas:
y-8 = -1,(x-6) Longrightarrow x+y-14=0

Passo 3

A corda principal é a reta que passa em F e é perpendicular ao eixo. Como o eixo tem direção (-1,1), a latus rectum terá direção perpendicular (1,1) e, passando por F, sua equação paramétrica é
(x,y)=(6,8)+s,(1,1)
Em forma cartesiana:
y-8 = 1,(x-6) Longrightarrow y = x+2

Passo 4

Para achar os extremos, tomamos um ponto genérico (x,y) na latus rectum, ou seja,
y = x+2,
e impomos que sua distância ao foco F seja igual à distância à directriz d.
Distância ao foco:
dF = raiz(x-6)^2 + (y-8)^2 = raiz(x-6)^2 + (x+2-8)^2 = raiz2,(x-6)^2 = raiz2,l|x-6r|
Distância à directriz:
dd = l|-x+y-14r|raiz(-1)^2+1^2 = l| -x+(x+2)-14r|raiz2 = 12raiz2 = 6raiz2
Igualando dF=dd:
raiz2,l|x-6r| = 6raiz2 Longrightarrow l|x-6r|=6

Passo 5

Da equação l|x-6r|=6 seguem x-6=6 ou x-6=-6, isto é
x=12 ou x=0
Como y=x+2, obtemos os dois pontos
(12,,14) e (0,,2)

Resposta

(12,14) e (0,2).

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