Encontre a solucão geral, e esboce o retrato de fase, dos se sistemas de equações diferenciais: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral e esboçar o retrato de fase de um sistema de equações diferenciais dado por:
Aqui, estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais, e para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz dos coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios () da matriz. Para isso, resolvemos o determinante da matriz menos vezes a identidade igual a zero:
Calculando o determinante:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores próprios. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores próprios são:
Passo 4
Com os valores próprios complexos, sabemos que a solução geral será uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas. A forma geral é:
onde é a parte real e é a parte imaginária dos valores próprios. No nosso caso:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar um vetor próprio (). Vamos usar e resolver :
Substituindo :
Resolvendo, obtemos V = 1 1 - iraiz32 (após simplificar).
Onde C1 e C2 são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 7
Para o retrato de fase, como os valores próprios são complexos com parte real negativa, sabemos que as soluções giram em torno do ponto de equilíbrio (origem) enquanto decaem para ele. Isso caracteriza um nó foco estável. Então, no gráfico, as trajetórias vão girando em espiral para o ponto central.