a) e
b) ou
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i) l4 x-3 y-4>0 4 x+y-20<0 2 x+3 y-12>0
j) |x|<2 e |y| <= 3
k) |x|<2 e x-y+1=0
l) x+|y|>2
m) (2 x-y+5)(x+2 y) <= 0
n) 2 x-y+5x+2 y <= 0
o) x+3y+2<3
Passo 1
O enunciado lista várias desigualdades ou sistemas em x e y e pede descrever, para cada caso, a região do plano (x,y) que satisfaz a condição. O conteúdo é geometria analítica de meio-planos, regiões definidas por retas, valores absolutos e sinais de produtos ou quocientes. Vamos:
Identificar a(s) reta(s) de fronteira (=)
Determinar de que lado de cada reta fica a solução (testando um ponto)
Para sistemas, intersectar as regiões; para “ou”, fazer união; para produtos ou razões, analisar sinais de cada fator.
Passo 2
Método geral:
– Se a inequação é linear (ax+by+c>0), a fronteira é a reta ax+by+c=0. Escrevemos em forma explícita y=dots ou x=dots, testamos um ponto (por ex. (0,0)) para ver qual lado satisfaz, e descrevemos o meio-plano.
– Se há valor absoluto lvert Lrvert, escrevemos o sistema equivalente sem módulo (caso a) L>=0 e b) L<0).
– Para produto (L1)(L2)<=0, encontramos as duas retas L1=0, L2=0 e tomamos os pontos onde os fatores têm sinais opostos ou nulos.
– Para razão tfracL1L2<=0 ou <0, fazemos o mesmo, lembrando de excluir L2=0.
Passo 3
a)
Fronteiras:
L1: x - 2y + 2 = 0Longrightarrow y = x+22,
L2: x + y - 4 = 0Longrightarrow y = 4 - x
Meio-planos:
x - 2y + 2 > 0;Long<=ftrightarrow;y < x+22,
x + y - 4 >= 0;Long<=ftrightarrow;y >= 4 - x
Portanto, é a interseção do meio-plano abaixo de L1 com o meio-plano acima (ou sobre) L2.
Passo 4
b)
Fronteiras iguais a) e balestra “ou”:
x - 2y + 2 < 0;Long<=ftrightarrow;y > x+22,
x + y - 4 >= 0;Long<=ftrightarrow;y >= 4 - x
Região solução: união dos pontos acima de L1 com os pontos sobre/ acima de L2.
Passo 5
c)
2x - 3y - 3,x + 3y - 3, >= 0
Fronteiras:
L1:2x-3y-3=0, L2:x+3y-3=0
Exclui-se x+3y-3=0. Analisamos sinais de L1 e L2: a razão é não-negativa se ambos têm sinais iguais. Logo é a união dos dois setores onde L1 e L2 são ambos positivos e onde são ambos negativos.
Passo 6
d)
|x+2y|>2
Equivalente ao sistema em função do argumento u=x+2y:
u>2ou u<-2
Fronteiras: retas x+2y=2 e x+2y=-2. Região solução: as duas bandas exteriores (fora da faixa entre as duas retas).
Passo 7
e)
|x+2y|<= 2
Mesmo u=x+2y, mas com
-2<= u<= 2
É a faixa (banda) fechada entre as retas x+2y=-2 e x+2y=2.
Passo 8
f)
|x|+|y|<= 2
É o losango (diamante) central com vértices em (pm2,0) e (0,pm2).
Passo 9
g)
3x+4y-12<0, x-y+1>0
Retas:
3x+4y-12=0, y=12-3x4;
x-y+1=0, y=x+1
Solução: interseção do meio-plano abaixo de 3x+4y=12 com o meio-plano acima da reta y=x+1.
Passo 10
h)
3x+4y-12>0, x-y+1>=0, x-2>=0
Meio-planos: acima de 3x+4y=12, acima ou sobre y=x+1, e à direita da reta vertical x=2. Solução: interseção dos três meio-planos.
Passo 11
i)
4x-3y-4>0, 4x+y-20<0, 2x+3y-12>0
As três retas definem três meio-planos. A região solução é a interseção dos três.
Passo 12
j)
|x|<2e|y|<= 3
Isso é o retângulo aberto em x de -2 a 2 e fechado em y de -3 a 3.
Passo 13
k)
|x|<2e x - y + 1 = 0
Interseção da faixa vertical -2<x<2 com a reta y = x+1. Dá um segmento de reta aberto nas extremidades onde x=pm2.
Passo 14
l)
x + |y| > 2
Escrevemos y>=0 e y<0 separadamente:
– Para y>=0: x+y>2.
– Para y<0: x-y>2.
União dessas duas regiões acima das duas retas anguladas.
Passo 15
m)
(2x - y + 5)(x + 2y) <= 0
Fatores zero nas retas 2x-y+5=0 e x+2y=0. A região é o fecho dos dois setores onde os fatores têm sinais opostos (um positivo e outro negativo).
Passo 16
n)
2x - y + 5x + 2y <= 0
Semelhante a c): retas 2x-y+5=0 e x+2y=0 (esta última excluída). Tomamos os pontos onde numerador e denominador têm sinais opostos ou numerador nulo.
Passo 17
o)
x+3,y+2,<3
Reescreve-se
x+3y+2-3<0 ;Long<=ftrightarrow; x+3-3(y+2)y+2<0 ;Long<=ftrightarrow; x - 3y - 3y+2<0
Fronteiras: retas x-3y-3=0 e y+2=0 (esta excluída). Região onde numerador e denominador têm sinais opostos.
Resposta
a) Interseção dos meio-planos y<tfracx+22 e y>=4-x.
b) União dos meio-planos y>tfracx+22 e y>=4-x.
c) Setores onde 2x-3y-3 e x+3y-3 têm mesmo sinal.
d) União dos pontos com x+2y>2 e x+2y<-2.
e) Faixa fechada entre x+2y=-2 e x+2y=2.
f) Losango |x|+|y|<=2.
g) Interseção dos meio-planos 3x+4y<12 e y>x+1.
h) Interseção de 3x+4y>12, y<= x+1 e x>=2.
i) Interseção de 4x-3y>4, 4x+y<20 e 2x+3y>12.
j) Retângulo -2<x<2, -3<= y<=3.
k) Segmento da reta y=x+1 com -2<x<2.
l) União de x+y>2 (para y>=0) e x-y>2 (para y<0).
m) Fecho dos setores onde (2x-y+5) e (x+2y) têm sinais opostos.
n) Região onde (2x-y+5) e (x+2y) têm sinais opostos, com x+2yneq0.
o) Região onde (x-3y-3) e (y+2) têm sinais opostos, com yneq-2.