Determine as posições relativas e a intersecção entre quaisquer duas das retas abaixo:
ll r1:(x, y, z)=(-2,0,1)+t(2,1,1) ; & r2:(x, y, z)=(0,-2,1)+t(1,0,-1) ; r3:(x, y, z)=(-2,-2,3)+t(-2,0,2) ; & r4:(x, y, z)=(2,-1,6)+t(1,-1,2) ; r5:l y=-x z=2 x-1

Passo 1

O enunciado dá cinco retas em :
e pede, para cada par de retas, a posição relativa (paralelas, coincidentes, reversas ou concorrentes) e, no caso de concorrência, o ponto de interseção. Vamos usar descrição paramétrica, comparação de vetores diretores e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Extraímos os pontos e vetores diretores:
&p1=(-2,0,1),;v1=(2,1,1), &p2=(0,-2,1),;v2=(1,0,-1), &p3=(-2,-2,3),;v3=(-2,0,2), &p4=(2,-1,6),;v4=(1,-1,2), &p5=(0,0,-1),;v5=(1,-1,2)

Passo 3

Comparamos vetores diretores para achar paralelismo:
v3=-2,v2, v5=v4
Logo (r2,r3) e (r4,r5) são pares de retas paralelas.

Passo 4

Verificamos se as paralelas coincidem:
  • Em (r2,r3) notamos que p3=(-2,-2,3) satisfaz a equação de r2, logo r2equiv r3 (coincidentes).
  • Em (r4,r5) tentamos achar s,u tais que
(2,-1,6)+s(1,-1,2)=(0,0,-1)+u(1,-1,2),
não há solução, então r4paral<=l r5 e são distintas.

Passo 5

Para os demais pares não paralelos resolvemos
pi+t,vi=pj+s,vj
A única dupla que admite solução é (r1,r4), com
t=1,;s=-1Longrightarrow P=(0,1,2)
Todos os outros pares não paralelos não têm solução e, portanto, são retas reversas (skew).

Resposta

r1 e r2: são reversas.
r1 e r3: são reversas.
r1 e r4: concorrem em (0,1,2).
r1 e r5: são reversas.
r2 e r3: coincidentes.
r2 e r4: são reversas.
r2 e r5: são reversas.
r3 e r4: são reversas.
r3 e r5: são reversas.
r4 e r5: paralelas distintas.

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