Questão 1. Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. (não é para calcular a integral.)
integral1^2 1x-1 d x

Passo 1

O enunciado dá a integral
integral1^21x-1,dx
e pede para explicar por que ela é imprópria. O conteúdo aqui é o de integrais impróprias, que surgem quando a função integranda não é limitada em algum ponto do intervalo de integração.

Passo 2

Uma integral é dita imprópria do tipo I quando o integrando tende a pminfty em algum ponto do intervalo, seja esse ponto uma extremidade ou interior. Nesse caso, precisamos substituir o ponto singular por um limite.

Passo 3

Analisando tfrac1x-1, notamos que em x=1 o denominador se anula, logo
1x-1;longrightarrow;pminfty quando xto1
Como x=1 é a extremidade inferior do intervalo [1,2], a integral não está imediatamente bem definida.

Passo 4

Para lidar com essa descontinuidade, reescrevemos a integral como
integral1^21x-1,dx =limepsilonto0^+ integral1+epsilon^21x-1,dx,
revelando que é de fato uma integral imprópria.

Resposta

A integral é imprópria porque o integrando tfrac1x-1 apresenta uma descontinuidade infinita em x=1, extremidade do intervalo de integração.

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