Considere a seguinte função de duas variáveis:
a) Determine o domínio dessa função.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A função que temos é $ z = f(x, y) = \sqrt{9 - 9x^{2} - y^{2}} $. O que precisamos descobrir é o domínio dessa função, ou seja, todos os valores de $ x $ e $ y $ para os quais a função está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela (o radicando) é maior ou igual a zero. Então, para a função $ \sqrt{9 - 9x^{2} - y^{2}} $ fazer sentido, precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de $ x $ e $ y $ que satisfazem essa condição. Vamos isolar os termos:
Dividindo ambos os lados da inequação por 9 para simplificar:
Passo 4
Essa inequação descreve uma elipse no plano $ xy $. A elipse tem o centro na origem
, com semi-eixos de comprimento 1 na direção $ x $ e 3 na direção $ y $. Portanto, todos os pontos $ (x, y) $ que estão dentro ou na fronteira dessa elipse satisfazem a inequação.
Passo 5
Então, o domínio da função são todos os pares $ (x, y) $ que satisfazem:
Isso significa que $ x $ varia entre -1 e 1, e para cada valor de $ x $, $ y $ varia de acordo com a equação da elipse.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{9 - 9x^{2} - y^{2}} $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ tais que:
Ou seja, é a região dentro e na fronteira da elipse definida por $ x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1 $.