Considere a seguinte função de duas variáveis:
z=f(x, y)=raiz9-9 x^2-y^2
b) Esboce um mapa de contornos para f, mostrando várias curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função de duas variáveis:
z = f(x, y) = raiz9 - 9x^2 - y^2
E a gente precisa esboçar um mapa de contornos para essa função, mostrando várias curvas de nível. Para isso, vamos usar conceitos de curvas de nível e entender como elas se comportam nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano (x, y) onde a função f(x, y) assume um valor constante. Ou seja, para um valor fixo c, temos:
f(x, y) = c
Vamos escolher diferentes valores de c e resolver para y em termos de x para encontrar as equações das curvas de nível.

Passo 3

Vamos igualar a função a um valor constante c:
raiz9 - 9x^2 - y^2 = c
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos os dois lados ao quadrado:
9 - 9x^2 - y^2 = c^2
Agora, vamos isolar os termos em x e y:
9x^2 + y^2 = 9 - c^2
Essa é a equação geral das nossas curvas de nível para cada valor de c.

Passo 4

Observando a equação:
9x^2 + y^2 = 9 - c^2
Perceba que ela representa uma elipse, já que os coeficientes de x^2 e y^2 são diferentes e positivos. A forma padrão de uma elipse é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Comparando com nossa equação, temos:
9x^29 - c^2 + y^29 - c^2 = 1
Isso nos mostra que os eixos da elipse dependem do valor de c.

Passo 5

Agora, vamos escolher alguns valores de c para desenhar as curvas de nível.
  • Para c = 0:
    9x^2 + y^2 = 9
    Que simplifica para:
    x^21 + y^29 = 1
    Essa é uma elipse com eixo maior no eixo y de comprimento 6 e eixo menor no eixo x de comprimento 2.
  • Para c = 1:
    9x^2 + y^2 = 8
    Ou seja:
    x^289 + y^28 = 1
    Ainda uma elipse, mas um pouco menor que a anterior.
  • Para c = 2:
    9x^2 + y^2 = 5
    Simplificando:
    x^259 + y^25 = 1
    Mais uma elipse, continuando a diminuir.

Passo 6

Repetindo esse processo para diferentes valores de c, como c = 3, notamos que quando c = 3:
9x^2 + y^2 = 0
A única solução é x = 0 e y = 0, ou seja, apenas o ponto (0,0).
Então, juntando tudo, nosso mapa de contornos será formado por várias elipses concentradas no centro, cada uma representando um valor diferente de c. À medida que c aumenta, as elipses ficam menores, culminando no ponto central quando c = 3.

Resposta

O mapa de contornos para a função f(x, y) = raiz9 - 9x^2 - y^2 consiste em várias elipses centradas na origem. Cada curva de nível correspondente a um valor constante c é dada pela equação 9x^2 + y^2 = 9 - c^2. Conforme c aumenta de 0 até 3, as elipses diminuem de tamanho, culminando no ponto (0,0) quando c = 3. Assim, o esboço mostra uma família de elipses concêntricas que representam diferentes valores de z na função.

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