Considere a seguinte função de duas variáveis:
b) Esboce um mapa de contornos para
, mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função de duas variáveis:
E a gente precisa esboçar um mapa de contornos para essa função, mostrando várias curvas de nível. Para isso, vamos usar conceitos de curvas de nível e entender como elas se comportam nessa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
assume um valor constante. Ou seja, para um valor fixo
, temos:
Vamos escolher diferentes valores de
e resolver para
em termos de
para encontrar as equações das curvas de nível.
Passo 3
Vamos igualar a função a um valor constante
:
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos os dois lados ao quadrado:
Agora, vamos isolar os termos em
e
:
Essa é a equação geral das nossas curvas de nível para cada valor de
.
Passo 4
Observando a equação:
Perceba que ela representa uma elipse, já que os coeficientes de
e
são diferentes e positivos. A forma padrão de uma elipse é:
Comparando com nossa equação, temos:
Isso nos mostra que os eixos da elipse dependem do valor de
.
Passo 5
Agora, vamos escolher alguns valores de
para desenhar as curvas de nível.
-
Para
: Que simplifica para:Essa é uma elipse com eixo maior no eixode comprimento e eixo menor no eixo de comprimento . -
Para
: Ou seja:Ainda uma elipse, mas um pouco menor que a anterior. -
Para
: Simplificando:Mais uma elipse, continuando a diminuir.
Passo 6
Repetindo esse processo para diferentes valores de
, como
, notamos que quando
:
A única solução é
e
, ou seja, apenas o ponto
.
Então, juntando tudo, nosso mapa de contornos será formado por várias elipses concentradas no centro, cada uma representando um valor diferente de
. À medida que
aumenta, as elipses ficam menores, culminando no ponto central quando
.
Resposta
O mapa de contornos para a função
consiste em várias elipses centradas na origem. Cada curva de nível correspondente a um valor constante
é dada pela equação
. Conforme
aumenta de
até
, as elipses diminuem de tamanho, culminando no ponto
quando
. Assim, o esboço mostra uma família de elipses concêntricas que representam diferentes valores de
na função.