Determine e, se possível, classifique em um tipo especial as seguintes matrizes:
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
com
para
.
O conteúdo é classificação de matrizes: vamos determinar sua forma explícita, posto, simetria, determinante e definitude.
O conteúdo é classificação de matrizes: vamos determinar sua forma explícita, posto, simetria, determinante e definitude.
Passo 2
Vamos escrever
linha a linha, usando
:
Passo 3
Observe que podemos fatorar cada elemento como produto de componentes de vetores
pois
. Logo
Passo 4
Como
e
, uma matriz do tipo
tem posto igual a 1. Portanto
Passo 5
Note que
, então
Isso implica que
é simétrica e, por ser um produto
, é uma matriz de Gram, logo semidefinida positiva: para qualquer
,
Passo 6
Como
, segue que
ou seja,
é singular. Além disso, o único autovalor não nulo de
é
Resposta
A matriz
é de posto 1, simétrica, semidefinida positiva e singular (determinante zero).