Determine e, se possível, classifique em um tipo especial as seguintes matrizes:
B=\left[b_{i j}\right]_{4 \times 4} tal que b_{i j}=i j.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz B=[b_{ij}]_{4\times4} com
b_{ij}=i\cdot j
para i,j=1,2,3,4.
O conteúdo é classificação de matrizes: vamos determinar sua forma explícita, posto, simetria, determinante e definitude.

Passo 2

Vamos escrever B linha a linha, usando b_{ij}=i\,j:
B=\begin{pmatrix} 1\cdot1 & 1\cdot2 & 1\cdot3 & 1\cdot4\\\\ 2\cdot1 & 2\cdot2 & 2\cdot3 & 2\cdot4\\\\ 3\cdot1 & 3\cdot2 & 3\cdot3 & 3\cdot4\\\\ 4\cdot1 & 4\cdot2 & 4\cdot3 & 4\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 2 & 4 & 6 & 8\\\\ 3 & 6 & 9 & 12\\\\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{pmatrix}.

Passo 3

Observe que podemos fatorar cada elemento como produto de componentes de vetores
u=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix},
pois b_{ij}=u_i\,v_j. Logo
B = u\,v^{T}.

Passo 4

Como u\neq0 e v\neq0, uma matriz do tipo u\,v^{T} tem posto igual a 1. Portanto
\rank(B)=1.

Passo 5

Note que u=v, então
B = u\,u^{T}.
Isso implica que B é simétrica e, por ser um produto u\,u^{T}, é uma matriz de Gram, logo semidefinida positiva: para qualquer y\in\mathbb{R}^4,
y^{T}B\,y = y^{T}u\,u^{T}y = (u^{T}y)^{2}\ge0.

Passo 6

Como \rank(B)=1<4, segue que
\det(B)=0,
ou seja, B é singular. Além disso, o único autovalor não nulo de u\,u^{T} é
\lambda = u^{T}u = 1^2+2^2+3^2+4^2 = 30.

Resposta

A matriz
B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 2 & 4 & 6 & 8\\\\ 3 & 6 & 9 & 12\\\\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{pmatrix}
é de posto 1, simétrica, semidefinida positiva e singular (determinante zero).

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