Esboce o gráfico das funções abaixo, determine
\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)
e, caso exista,
\lim _{x \rightarrow a} f(x)
:
f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 3 x-2, x>1 \\\\ 2, x=1 \\\\ 4 x+1, x<1 \end{array} \quad(a=1)\right..

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes e pede o esboço do gráfico e os limites laterais e total em a=1. Informações fornecidas:
  • Para x>1: f(x)=3x-2.
  • Para x=1: f(1)=2.
  • Para x<1: f(x)=4x+1.
    O que é pedido:
  • Esboçar o gráfico de f.
  • Calcular \lim_{x\to 1^-} f(x).
  • Calcular \lim_{x\to 1^+} f(x).
  • Determinar \lim_{x\to 1} f(x), caso exista.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicado de forma simples):
  • Um limite lateral \lim_{x\to 1^-} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x tende para 1 pela esquerda (valores menores que 1). Analogamente, \lim_{x\to 1^+} f(x) é o valor quando x tende para 1 pela direita (valores maiores que 1).
  • Se, em uma vizinhança à esquerda (ou à direita) de 1, f é dada por uma expressão polinomial ou linear, o limite lateral é obtido simplesmente substituindo x=1 nessa expressão (porque limites de funções lineares são o valor da função no ponto).
  • A existência do limite total \lim_{x\to 1} f(x) exige que as duas limitações laterais existam e sejam iguais: \lim_{x\to 1} f(x)\\ \text{existe} \iff \lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x).
  • Se as duas laterais forem finitas mas diferentes, diz-se que há uma descontinuidade do tipo salto (jump).

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to 1^-} f(x):
  • Para x<1 a expressão é f(x)=4x+1.
  • Aplicando a regra de substituição (limite de função linear), temos:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} (4x+1)=4\cdot 1 + 1 = 5.
Explicando devagar: ao aproximar x de 1 por valores menores, 4x+1 se aproxima de 5. Por exemplo, para x=0{,}9 4(0{,}9)+1=4{,}6; para x=0{,}99 4{,}96; aproxima-se de 5.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to 1^+} f(x):
  • Para x>1 a expressão é f(x)=3x-2.
  • Aplicando substituição:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (3x-2)=3\cdot 1 - 2 = 1.
Explicando devagar: aproximando x de 1 por valores maiores, 3x-2 tende para 1. Por exemplo, x=1{,}1\Rightarrow 3(1{,}1)-2=1{,}3; x=1{,}01\Rightarrow 1{,}03; aproxima-se de 1.

Passo 5

Comparação das laterais e conclusão sobre o limite total:
  • Encontramos \lim_{x\to 1^-} f(x)=5,\qquad \lim_{x\to 1^+} f(x)=1.
  • Como 5 \neq 1, as duas laterais não coincidem. Logo \lim_{x\to 1} f(x) não existe.
  • Observação adicional sobre o valor da função: f(1)=2. Nenhum dos limites laterais é igual a 2, portanto f é descontínua em x=1. Especificamente, é uma descontinuidade do tipo salto (há dois valores de aproximação diferentes à esquerda e à direita, e um valor definido no ponto que é outro ainda).

Passo 6

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer na folha — descrição do desenho):
  1. Desenhar eixos x e y e marcar x=1.
  2. Ramo esquerdo ( x<1): desenhar a reta y=4x+1 somente para x<1. Essa reta tem coeficiente angular 4 (bastante inclinada para cima). No ponto x=1 essa reta atinge y=5, então marque um círculo aberto em (1,5) porque a definição para x<1 não inclui x=1.
  3. Ramo direito ( x>1): desenhar a reta y=3x-2 somente para x>1. Essa reta tem coeficiente angular 3. No ponto x=1 essa reta atinge y=1, então marque um círculo aberto em (1,1).
  4. Valor no ponto x=1: desenhar um ponto cheio (ponto sólido) em (1,2) porque f(1)=2.
  5. Estender cada reta nas suas regiões até pontos visíveis: por exemplo, para x=0 a reta esquerda dá y=1 (intercepto em (0,1)); para x=0 a reta direita dá y=-2 (intercepto em (0,-2)) — isso ajuda a posicionar as retas. Lembre-se: nas fronteiras em x=1 usar círculos abertos para os valores que não são tomados e ponto cheio para o valor efetivo f(1)=2.
  6. Resultado visual esperado: dois ramos de retas que não se encontram em x=1, com um ponto isolado em (1,2).

Resposta

\lim_{x\to 1^-} f(x)=5
\lim_{x\to 1^+} f(x)=1
\lim_{x\to 1} f(x) não existe.

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