O enunciado dá a função definida por partes e pede o esboço do gráfico e os limites laterais e total em a=1. Informações fornecidas:
Para x>1: f(x)=3x-2.
Para x=1: f(1)=2.
Para x<1: f(x)=4x+1.
O que é pedido:
Esboçar o gráfico de f.
Calcular \lim_{x\to 1^-} f(x).
Calcular \lim_{x\to 1^+} f(x).
Determinar \lim_{x\to 1} f(x), caso exista.
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (explicado de forma simples):
Um limite lateral \lim_{x\to 1^-} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x tende para 1 pela esquerda (valores menores que 1). Analogamente, \lim_{x\to 1^+} f(x) é o valor quando x tende para 1 pela direita (valores maiores que 1).
Se, em uma vizinhança à esquerda (ou à direita) de 1, f é dada por uma expressão polinomial ou linear, o limite lateral é obtido simplesmente substituindo x=1 nessa expressão (porque limites de funções lineares são o valor da função no ponto).
A existência do limite total \lim_{x\to 1} f(x) exige que as duas limitações laterais existam e sejam iguais:\lim_{x\to 1} f(x)\\ \text{existe} \iff \lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x).
Se as duas laterais forem finitas mas diferentes, diz-se que há uma descontinuidade do tipo salto (jump).
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to 1^-} f(x):
Para x<1 a expressão é f(x)=4x+1.
Aplicando a regra de substituição (limite de função linear), temos:
Explicando devagar: ao aproximar x de 1 por valores menores, 4x+1 se aproxima de 5. Por exemplo, para x=0{,}9 dá 4(0{,}9)+1=4{,}6; para x=0{,}99 dá 4{,}96; aproxima-se de 5.
Passo 4
Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to 1^+} f(x):
Explicando devagar: aproximando x de 1 por valores maiores, 3x-2 tende para 1. Por exemplo, x=1{,}1\Rightarrow 3(1{,}1)-2=1{,}3; x=1{,}01\Rightarrow 1{,}03; aproxima-se de 1.
Passo 5
Comparação das laterais e conclusão sobre o limite total:
Como 5 \neq 1, as duas laterais não coincidem. Logo \lim_{x\to 1} f(x) não existe.
Observação adicional sobre o valor da função: f(1)=2. Nenhum dos limites laterais é igual a 2, portanto f é descontínua em x=1. Especificamente, é uma descontinuidade do tipo salto (há dois valores de aproximação diferentes à esquerda e à direita, e um valor definido no ponto que é outro ainda).
Passo 6
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer na folha — descrição do desenho):
Desenhar eixos x e y e marcar x=1.
Ramo esquerdo (x<1): desenhar a reta y=4x+1 somente para x<1. Essa reta tem coeficiente angular 4 (bastante inclinada para cima). No ponto x=1 essa reta atinge y=5, então marque um círculo aberto em (1,5) porque a definição para x<1 não inclui x=1.
Ramo direito (x>1): desenhar a reta y=3x-2 somente para x>1. Essa reta tem coeficiente angular 3. No ponto x=1 essa reta atinge y=1, então marque um círculo aberto em (1,1).
Valor no ponto x=1: desenhar um ponto cheio (ponto sólido) em (1,2) porque f(1)=2.
Estender cada reta nas suas regiões até pontos visíveis: por exemplo, para x=0 a reta esquerda dá y=1 (intercepto em (0,1)); para x=0 a reta direita dá y=-2 (intercepto em (0,-2)) — isso ajuda a posicionar as retas. Lembre-se: nas fronteiras em x=1 usar círculos abertos para os valores que não são tomados e ponto cheio para o valor efetivo f(1)=2.
Resultado visual esperado: dois ramos de retas que não se encontram em x=1, com um ponto isolado em (1,2).