Esboce o gráfico das funções abaixo, determine
e, caso exista,
:
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
no ponto
:
- Esboçar o gráfico de
. - Calcular
. - Calcular
. - Determinar, se existir,
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A fórmula da função é
. - Atenção: a expressão tem um denominador
, então algo pode acontecer em (divisão por zero). - A função está, a princípio, definida para todos os
tais que .
Passo 2
Vamos entender a definição do valor absoluto, que é essencial aqui.
Definição do valor absoluto: para qualquer número real
Exemplos rápidos para fixar:
, e
.
Usando essa definição, podemos reescrever
de forma piecewise (por partes), prestando atenção ao fato de que a divisão por
só faz sentido se
.]
Passo 3
Reescrevendo [;f) por partes:
- Se
, então . Assim
- Se
, então . Assim
Observação importante: em
não podemos aplicar a fórmula porque o denominador seria zero; portanto a função não está definida em
. Conclusão da forma piecewise:
não está definida).}]]
Passo 4
Cálculo dos limites laterais usando o fato de que em cada lado a função é constante.
- Limite à direita (
). Quando estamos aproximando por valores positivos muito pequenos; em todo esse intervalo à direita a função vale constantement . Para uma função constante, o limite é justamente o valor da constante. Logo
(Outra forma de ver: tome a sequência
. Então
para todo
, logo os valores tendem para
.)
- Limite à esquerda (
). Quando estamos aproximando por valores negativos; em todo esse intervalo à esquerda a função vale constantement . Portanto
(Analogamente, a sequência
dá
sempre.)
Passo 5
Decisão sobre o limite bilateral
.
A existência do limite
exige que os dois limites laterais sejam iguais. Aqui encontramos
que são diferentes. Portanto o limite bilateral não existe:
Classificação da descontinuidade em
: é uma descontinuidade do tipo salto (jump discontinuity), com salto de tamanho
(de
para
) e ponto removido (a função não está definida em
).
Passo 6
Como esboçar o gráfico (instruções passo a passo — desenhar sem calculadora):
- Para
: trace a reta horizontal para todos os negativos. Marque um círculo aberto em porque em a função não tem valor. - Para
: trace a reta horizontal para todos os positivos. Marque um círculo aberto em . - Não existe ponto conjunto em
; portanto no gráfico haverá duas semi-retas horizontais separadas por um salto, com dois círculos abertos exatamente acima e abaixo da origem. - Opcional: desenhe setas nas extremidades das retas para indicar que elas continuam indefinidamente para a esquerda/direita.
Visualmente é o gráfico da função sinal (a chamada função
), sem valor no zero.