Esboce o gráfico das funções abaixo, determine
\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)
e, caso exista,
\lim _{x \rightarrow a} f(x)
:
f(x)=\frac{|x|}{x} \quad(a=0).

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função \;f(x)=\dfrac{|x|}{x}\; no ponto a=0:
  • Esboçar o gráfico de f.
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x).
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x).
  • Determinar, se existir, \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A fórmula da função é \;f(x)=\dfrac{|x|}{x}\;.
  • Atenção: a expressão tem um denominador \;x\;, então algo pode acontecer em \;x=0\; (divisão por zero).
  • A função está, a princípio, definida para todos os x tais que \;x\neq 0\;.

Passo 2

Vamos entender a definição do valor absoluto, que é essencial aqui.
Definição do valor absoluto: para qualquer número real \;x\;\), \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Exemplos rápidos para fixar: |2|=2\], \(|-3|=3, e |0|=0.
Usando essa definição, podemos reescrever \;f(x)=\dfrac{|x|}{x}\; de forma piecewise (por partes), prestando atenção ao fato de que a divisão por \;x\; só faz sentido se \;x\neq 0\;.]

Passo 3

Reescrevendo [;f) por partes:
  • Se \;x>0\;, então |x|=x. Assim
f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1\quad\text{para }x>0.
  • Se \;x<0\;, então |x|=-x. Assim
f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1\quad\text{para }x<0.
Observação importante: em \;x=0\; não podemos aplicar a fórmula porque o denominador seria zero; portanto a função não está definida em \;x=0\;. Conclusão da forma piecewise:
f(x)= \begin{cases} 1, & x>0,\\[4pt] -1, & x<0, \end{cases} \qquad\text{(e \(f(0) não está definida).}]]

Passo 4

Cálculo dos limites laterais usando o fato de que em cada lado a função é constante.
  • Limite à direita ( x\to 0^+). Quando \;x\to 0^+\; estamos aproximando 0 por valores positivos muito pequenos; em todo esse intervalo à direita a função vale constantement \;1. Para uma função constante, o limite é justamente o valor da constante. Logo
\lim_{x\to 0^+} f(x)=1.
(Outra forma de ver: tome a sequência x_n=\tfrac{1}{n}\to 0^+. Então f(x_n)=1 para todo n, logo os valores tendem para 1.)
  • Limite à esquerda ( x\to 0^-). Quando \;x\to 0^-\; estamos aproximando 0 por valores negativos; em todo esse intervalo à esquerda a função vale constantement \;-1. Portanto
\lim_{x\to 0^-} f(x)=-1.
(Analogamente, a sequência x_n=-\tfrac{1}{n}\to 0^- f(x_n)=-1 sempre.)

Passo 5

Decisão sobre o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x).
A existência do limite \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) exige que os dois limites laterais sejam iguais. Aqui encontramos
\lim_{x\to 0^-} f(x) = -1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^+} f(x) = 1,
que são diferentes. Portanto o limite bilateral não existe:
\lim_{x\to 0} f(x)\\ \text{não existe}.ã
Classificação da descontinuidade em x=0: é uma descontinuidade do tipo salto (jump discontinuity), com salto de tamanho 2 (de -1 para 1) e ponto removido (a função não está definida em 0).

Passo 6

Como esboçar o gráfico (instruções passo a passo — desenhar sem calculadora):
  • Para x<0: trace a reta horizontal y=-1 para todos os x negativos. Marque um círculo aberto em (0,-1) porque em x=0 a função não tem valor.
  • Para x>0: trace a reta horizontal y=1 para todos os x positivos. Marque um círculo aberto em (0,1).
  • Não existe ponto conjunto em x=0; portanto no gráfico haverá duas semi-retas horizontais separadas por um salto, com dois círculos abertos exatamente acima e abaixo da origem.
  • Opcional: desenhe setas nas extremidades das retas para indicar que elas continuam indefinidamente para a esquerda/direita.
Visualmente é o gráfico da função sinal (a chamada função \operatorname{sgn}(x)), sem valor no zero.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) = -1
\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = 1
\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)\\ \text{não existe}ã

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