Determine, se possível, as constantes a e b \in \mathbb{R} de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto x_{o}. Esboce o gráfico:
g(x)=\left\{\begin{array}{l}a x^{2}+2, x \neq 1 \\\ a^{2}, x=1\end{array} \quad\left(x_{o}=1\right)\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x)= \begin{cases} a x^{2}+2, & x\neq1,\\\ a^{2}, & x=1, \end{cases}
e pede para escolher a\in\mathbb{R} de modo que g seja contínua em x_{0}=1. Vamos usar o critério de continuidade: \displaystyle\lim_{x\to1}g(x) deve existir e ser igual a g(1).

Passo 2

Calculamos o limite lateral (que é o mesmo dos dois lados, já que a expressão para x\neq1 é única):
\lim_{x\to1}g(x) =\lim_{x\to1}\bigl(a x^{2}+2\bigr) =a\cdot1^{2}+2 =a+2.

Passo 3

Sabemos também que
g(1)=a^{2}.
Pela continuidade em x=1 temos
\lim_{x\to1}g(x)=g(1) \quad\Longrightarrow\quad a+2=a^{2}.

Passo 4

Resolvendo a equação
a^{2}-a-2=0 \quad\Longrightarrow\quad (a-2)(a+1)=0
segue que
a=2 \quad\text{ou}\quad a=-1.
Para cada uma dessas escolhas, o valor em x=1 coincide com o limite, logo g fica contínua em 1.
O esboço do gráfico é simplesmente a parábola y=a x^{2}+2 sem nenhum furo em x=1 (pois o ponto em x=1 foi “fechado” com g(1)=a^{2} que bate com a curva).

Resposta

\displaystyle a=2 ou \displaystyle a=-1.

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