Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, trace a função com um domínio e um ponto de vista que mostrem os seus aspectos importantes.
f(x, y)=x y-2 x-y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais (máximos e mínimos) e os pontos de sela da função
f(x,y)=x\,y-2\,x-y.
Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar os pontos críticos e, em seguida, analisar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=y-2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x-1.
Igualando-as a zero para achar os pontos críticos:
y-2=0 \quad\Rightarrow\quad y=2, \qquad x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Logo, há um único ponto crítico em (1,2).

Passo 3

Formamos a matriz Hessiana de f:
H(f)= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\[6pt] \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz vale
\det H(f)=0\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1 < 0.
Quando o determinante da Hessiana é negativo, o ponto crítico é um ponto de sela.]

Passo 4

Concluímos que a função não apresenta máximos nem mínimos locais, tendo apenas um ponto de sela em (1,2). Nesse ponto
f(1,2)=1\cdot 2 -2\cdot 1 -2 = -2.
Graficamente, vê-se a superfície “abrir” em direções opostas, característica de sela.

Resposta

Não há máximos nem mínimos locais. Há um ponto de sela em (1,2) com valor f(1,2)=-2.

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