Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de
sujeito à restrição
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange: definimos
e construímos
Passo 2
Escrevemos as condições de estação de
:
Passo 3
Das duas primeiras equações, se
e
, podemos dividir
Substituindo
na restrição
dá
então
.
Passo 4
No ponto crítico
, o valor de
é
Não surgiram outras soluções reais do sistema de Lagrange.
Passo 5
Para verificar se há mínimo ou máximo global, analisamos a curva
:
– Quando , então
e
, logo
– Quando
Assim
pode ficar arbitrariamente próximo de
, mas nunca atinge
.
– Também não há valores de
em que
.
Portanto
atinge um máximo absoluto em
e não possui mínimo absoluto (apenas infimum
não atingido).
Resposta
O valor máximo de
sob a restrição é
e não existe valor mínimo (infimum
, não atingido).