Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=e^{x y} ; \quad x^{3}+y^{3}=16

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y)=e^{xy}
sujeito à restrição
x^{3}+y^{3}=16.
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange: definimos
g(x,y)=x^{3}+y^{3}-16=0
e construímos
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=e^{xy}-\lambda\bigl(x^{3}+y^{3}-16\bigr).

Passo 2

Escrevemos as condições de estação de \mathcal{L}:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=y\,e^{xy}-\lambda\cdot3x^{2}=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=x\,e^{xy}-\lambda\cdot3y^{2}=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=-(x^{3}+y^{3}-16)=0.

Passo 3

Das duas primeiras equações, se x\neq0 e y\neq0, podemos dividir
\frac{y\,e^{xy}}{x\,e^{xy}} =\frac{3x^{2}\lambda}{3y^{2}\lambda} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x}=\frac{x^{2}}{y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad y^{3}=x^{3} \quad\Longrightarrow\quad y=x.
Substituindo y=x na restrição x^{3}+y^{3}=16
2x^{3}=16 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=8 \quad\Longrightarrow\quad x=2,
então y=2.

Passo 4

No ponto crítico (2,2), o valor de f é
f(2,2)=e^{2\cdot2}=e^{4}.
Não surgiram outras soluções reais do sistema de Lagrange.

Passo 5

Para verificar se há mínimo ou máximo global, analisamos a curva x^{3}+y^{3}=16:
– Quando |x|\to\infty, então y^{3}=16-x^{3}\sim -x^{3} e y\sim -x, logo
xy\sim -x^{2}\to -\infty \quad\Longrightarrow\quad e^{xy}\to0^{+}.
Assim f pode ficar arbitrariamente próximo de 0, mas nunca atinge 0.
– Também não há valores de (x,y) em que f\to+\infty.
Portanto f atinge um máximo absoluto em (2,2) e não possui mínimo absoluto (apenas infimum 0 não atingido).

Resposta

O valor máximo de f sob a restrição é
\max f = e^{4} \quad\text{em}\quad (x,y)=(2,2),
e não existe valor mínimo (infimum 0, não atingido).

Exercícios relacionados