Determine a derivada de:
(h) f(x)=e^-3 x+ln (arctg(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, a matéria que estamos usando é o cálculo diferencial, especificamente a regra da derivada para funções compostas e a derivada de funções básicas como exponenciais e logaritmos. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas básicas de derivação e entender como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisamos derivar separadamente. A função é composta por duas partes:
  1. – uma função exponencial.
  2. – uma função logarítmica composta com a função arco-tangente.
Vamos derivar cada parte individualmente.

Passo 3

Vamos começar com a derivada da primeira parte: ddx e^-3x = e^-3x cdot (-3) = -3e^-3x .
A derivada de uma função exponencial é , onde é o expoente.
Aqui, , então .
Portanto, a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda parte: ddx arctan(x) = 11 + x^2 .
Para derivar uma função logarítmica composta, usamos a regra da cadeia. A derivada de ddx ln(arctan(x)) = v'(x)v(x) = 11 + x^2arctan(x) = 1arctan(x) cdot (1 + x^2) é .
Aqui, .
Primeiro, encontramos , que é a derivada da arco-tangente:
Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora que temos as derivadas das duas partes da função, vamos somá-las para obter a derivada total de f'(x) = ddx e^-3x + ddx ln(arctan(x)) = -3e^-3x + 1arctan(x) cdot (1 + x^2) .

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -3e^-3x + 1arctan(x) cdot (1 + x^2)

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