Determine, se existir, o limite lim (x, y) (0,0) f(x, y).
f(x, y)=x^2-x yraizx-raizy;

Passo 1

Então, a gente quer descobrir o valor do limite de uma função quando as variáveis x e y estão chegando juntas para zero. A função é:
f(x, y) = x^2 - x yraizx - raizy
Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de (0,0) e explorar possíveis caminhos que x e y podem seguir para chegar a esse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para facilitar a análise do limite. Uma técnica comum é fatorar o numerador ou racionalizar o denominador.
No numerador temos x^2 - x y, que podemos fatorar:
x^2 - x y = x(x - y)
Então, a função fica:
f(x, y) = x(x - y)raizx - raizy

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador raizx - raizy. Para simplificar, podemos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador, que é raizx + raizy. Isso ajuda a eliminar as raízes no denominador.
Multiplicando, temos:
f(x, y) = x(x - y)(raizx + raizy)(raizx - raizy)(raizx + raizy) = x(x - y)(raizx + raizy)x - y

Passo 4

Observamos que x - y aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que x neq y):
f(x, y) = x(raizx + raizy)

Passo 5

Agora, a função ficou mais simples:
f(x, y) = xraizx + xraizy
Vamos analisar o limite de cada termo separadamente quando (x, y) (0,0).
Para xraizx:
limx to 0 xraizx = limx to 0 x^3/2 = 0
Para xraizy:
Como y também tende a zero, então raizy tende a zero, e xraizy tende a zero.

Passo 6

Somando os dois limites:
lim(x, y) (0,0) f(x, y) = 0 + 0 = 0

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) é igual a 0.

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