Determine, se existir, o limite
.
;
Passo 1
Então, a gente quer descobrir o valor do limite de uma função quando as variáveis
e
estão chegando juntas para zero. A função é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de
e explorar possíveis caminhos que
e
podem seguir para chegar a esse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para facilitar a análise do limite. Uma técnica comum é fatorar o numerador ou racionalizar o denominador.
No numerador temos
, que podemos fatorar:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador
. Para simplificar, podemos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador, que é
. Isso ajuda a eliminar as raízes no denominador.
Multiplicando, temos:
Passo 4
Observamos que
aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que
):
Passo 5
Agora, a função ficou mais simples:
Vamos analisar o limite de cada termo separadamente quando
.
Para
:
Para
:
Como
também tende a zero, então
tende a zero, e
tende a zero.
Passo 6
Somando os dois limites:
Resposta
O limite
é igual a 0.