Determine se é possível definir
de modo que a função dada seja contínua.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de continuidade de funções de duas variáveis. Especificamente, queremos saber se dá pra definir o valor de $ f(0,0) $ de forma que a função $ f(x, y) = \frac{y x{2}}{x{4} + y^{2}} $ seja contínua naquele ponto. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular limites de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função no ponto. Ou seja, para $ f $ ser contínua em $ (0,0) $, precisamos que:
Como ainda não sabemos o valor de $ f(0,0) $, nosso objetivo é encontrar esse limite. Se o limite existir, podemos definir $ f(0,0) $ como esse valor para garantir a continuidade.
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x,y) $ se aproxima de $ (0,0) $. Para funções de duas variáveis, um jeito comum de verificar o limite é aproximar o ponto de diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então o limite existe.
Passo 4
Vamos tentar alguns caminhos simples:
-
Caminho ao longo do eixo x ($ y = 0 $):Então,
. -
Caminho ao longo do eixo y ($ x = 0 $):Então,
.
Passo 5
Vamos testar um caminho mais geral, por exemplo, $ y = k x^{2} $, onde $ k $ é uma constante. Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando $ x \to 0 $:
Aqui vemos que o limite depende do valor de $ k $! Isso significa que diferentes caminhos nos dão limites diferentes.
Passo 6
Como o limite depende do caminho escolhido (diferentes valores de $ k $ dão diferentes limites), concluímos que:
Resposta
Não é possível definir $ f(0,0) $ de modo que a função $ f(x, y) = \frac{y x{2}}{x{4} + y^{2}} $ seja contínua no ponto $ (0,0) $.