Determine, se possıvel, o domınio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes fun ções:
Passo 1
Temos a função racional
. Vamos determinar domínio, imagem e esboçar o gráfico. O conteúdo é estudo de funções racionais, envolvendo zeros, polos (denominador zero), assíntotas e intervalo de valores possíveis.
Passo 2
Para o domínio, igualamos o denominador a zero:
. Logo,
e
. Assim, o domínio é
.
Passo 3
As assíntotas verticais ocorrem nas raízes do denominador, isto é,
e
. Para o comportamento em infinito,
, logo há assíntota horizontal
.
Passo 4
Para os interceptos, resolvemos
obtendo
e ponto
. No eixo
,
, logo ponto
.
Passo 5
Para achar a imagem, escrevemos
e reorganizamos em quadrática em
:
O discriminante é
Para existir
, precisamos de
, ou seja
Passo 6
No esboço do gráfico, usamos as assíntotas em
e
, os interceptos
e
, e os limites:
,
,
,
e
. Desenhamos três ramos separando os intervalos
,
e
, respeitando sinais e comportamentos acima.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Gráfico com assíntotas verticais em
e
, assíntota horizontal em
, interceptos em
e
, e três ramos conforme o comportamento nos intervalos de domínio.