Determine, se possıvel, o domınio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes fun ções:
f(x)=x+2x^2-3 x+2

Passo 1

Temos a função racional f(x)=x+2x^2-3x+2. Vamos determinar domínio, imagem e esboçar o gráfico. O conteúdo é estudo de funções racionais, envolvendo zeros, polos (denominador zero), assíntotas e intervalo de valores possíveis.

Passo 2

Para o domínio, igualamos o denominador a zero: x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0. Logo, xneq1 e xneq2. Assim, o domínio é Rsetminus1,2.

Passo 3

As assíntotas verticais ocorrem nas raízes do denominador, isto é, x=1 e x=2. Para o comportamento em infinito, limxtopminftyf(x)=limxtopminftyx+2x^2-3x+2=0, logo há assíntota horizontal y=0.

Passo 4

Para os interceptos, resolvemos x+2=0 obtendo x=-2 e ponto (-2,0). No eixo y, f(0)=22=1, logo ponto (0,1).

Passo 5

Para achar a imagem, escrevemos y=x+2x^2-3x+2 e reorganizamos em quadrática em x:
yx^2-(3y+1)x+(2y-2)=0
O discriminante é
De
Para existir xin R, precisamos de De=0, ou seja
y^2+14y+1>=0Longrightarrow y<=-7-4raiz3;ou;y>=-7+4raiz3

Passo 6

No esboço do gráfico, usamos as assíntotas em x=1,2 e y=0, os interceptos (-2,0) e (0,1), e os limites: xto1^-Rightarrow fto+infty, xto1^+Rightarrow fto-infty, xto2^-Rightarrow fto-infty, xto2^+Rightarrow fto+infty e xtopminftyRightarrow fto0. Desenhamos três ramos separando os intervalos ( -infty,1), (1,2) e (2,infty), respeitando sinais e comportamentos acima.

Resposta

Domínio: ( -infty,1)cup(1,2)cup(2,infty). Imagem: ( -infty,-7-4raiz3]cup[ -7+4raiz3,infty). Gráfico com assíntotas verticais em x=1 e x=2, assíntota horizontal em y=0, interceptos em (-2,0) e (0,1), e três ramos conforme o comportamento nos intervalos de domínio.

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