Determine, se possível, o domínio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=-1x^2

Passo 1

A função dada é f(x)=-1x^2. O conteúdo envolve funções racionais e vamos precisar usar conceitos de domínio (denominador não pode ser zero), comportamento assintótico e análise de limites para encontrar a imagem e esboçar o gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que em -1x^2 o denominador x^2 não pode ser zero. Logo, devemos ter xneq0. Assim,
[(-\infty,0)\cup(0,\infty)]

Passo 3

Para determinar a imagem, observamos que x^2>0 para todo xneq0, então -1x^2<0.
Analisando limites:
À medida que xtopminfty, temos f(x)=-1x^2to0^-, ou seja, se aproxima de zero por baixo.
À medida que xto0^pm, temos f(x)=-1x^2to-infty.
Com esses comportamentos vemos que os valores de f(x) percorrem todos os números reais negativos. Portanto, a imagem é
[(-\infty,0)]

Passo 4

Para esboçar o gráfico, identificamos as assíntotas:
• Assíntota vertical em x=0, pois a função não está definida aí.
• Assíntota horizontal em y=0, pois f(x)to0 quando xtopminfty.
O gráfico tem dois ramos simétricos em relação ao eixo y: um para x>0 e outro para x<0, sempre abaixo do eixo x, aproximando-se das assíntotas.
No ramo direito ( x>0), a curva sai muito negativa perto de x=0^+, sobe e se aproxima de y=0 quando x cresce. O ramo à esquerda é o espelho em relação ao eixo y.

Resposta

Domínio: x
Imagem: y
Esboço do gráfico: duas curvas abaixo do eixo x=0, simétricas em relação ao eixo y=0, com assíntotas verticais em e horizontal em .

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