Determine, se possível, o domínio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
A função dada é
. O conteúdo envolve funções racionais e vamos precisar usar conceitos de domínio (denominador não pode ser zero), comportamento assintótico e análise de limites para encontrar a imagem e esboçar o gráfico.
Passo 2
Para achar o domínio, lembramos que em
o denominador
não pode ser zero. Logo, devemos ter
. Assim,
[(-\infty,0)\cup(0,\infty)]
[(-\infty,0)\cup(0,\infty)]
Passo 3
Para determinar a imagem, observamos que
para todo
, então
.
Analisando limites:
À medida que , temos
, ou seja, se aproxima de zero por baixo.
À medida que , temos
.
Com esses comportamentos vemos que os valores de percorrem todos os números reais negativos. Portanto, a imagem é
[(-\infty,0)]
Analisando limites:
À medida que
À medida que
Com esses comportamentos vemos que os valores de
[(-\infty,0)]
Passo 4
Para esboçar o gráfico, identificamos as assíntotas:
• Assíntota vertical em , pois a função não está definida aí.
• Assíntota horizontal em , pois
quando
.
O gráfico tem dois ramos simétricos em relação ao eixo : um para
e outro para
, sempre abaixo do eixo
, aproximando-se das assíntotas.
No ramo direito ( ), a curva sai muito negativa perto de
, sobe e se aproxima de
quando
cresce. O ramo à esquerda é o espelho em relação ao eixo
.
• Assíntota vertical em
• Assíntota horizontal em
O gráfico tem dois ramos simétricos em relação ao eixo
No ramo direito (
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço do gráfico: duas curvas abaixo do eixo
, simétricas em relação ao eixo
, com assíntotas verticais em
e horizontal em
.