Catcule a integral
onde
é a regiano do espaço limitada pelo tetraedro formado pelos planos
e
.
Passo 1
A questão pede calcular a integral tripla
, onde
é o tetraedro em que
,
e
são não negativos e satisfazem
. Isso envolve integral tripla em coordenadas cartesianas e definição de limites de integração adequados.
Passo 2
Para descrever
, podemos fixar
entre 0 e 1; para cada
fixo,
varia de 0 até
; e para cada par
,
varia de 0 até
. Assim a integral vira
Passo 3
Integramos primeiro em
, tratando
e
como constantes. A integral interna é
Isso reduz a integral a
Passo 4
Agora integramos em
:
Então a integral vira
Passo 5
Por fim, integramos em
:
Passo 6
Portanto, a integral tripla vale
.