Catcule a integral integral triplaR y d R onde R é a regiano do espaço limitada pelo tetraedro formado pelos planos x+y+z=1, x=0, y=0 e z=0.

Passo 1

A questão pede calcular a integral tripla integral triplaR y,dR, onde R é o tetraedro em que x, y e z são não negativos e satisfazem x+y+z<=1. Isso envolve integral tripla em coordenadas cartesianas e definição de limites de integração adequados.

Passo 2

Para descrever R, podemos fixar y entre 0 e 1; para cada y fixo, x varia de 0 até 1-y; e para cada par (x,y), z varia de 0 até 1-x-y. Assim a integral vira
integraly=0^1!integralx=0^1-y!integralz=0^1-x-y y ,dz,dx,dy

Passo 3

Integramos primeiro em z, tratando y e x como constantes. A integral interna é
integral0^1-x-y y,dz = yl[zr]0^1-x-y = y(1-x-y)
Isso reduz a integral a
integraly=0^1integralx=0^1-y y(1-x-y),dx,dy

Passo 4

Agora integramos em x:
integral0^1-y y(1-x-y),dx = yintegral0^1-y(1-y-x),dx = yl[(1-y)x - tfracx^22r]0^1-y = yl[(1-y)^2 - tfrac(1-y)^22r] = tfracy(1-y)^22
Então a integral vira
integral0^1 tfracy(1-y)^22,dy

Passo 5

Por fim, integramos em y:
tfrac12integral0^1 y(1-y)^2,dy = tfrac12integral0^1(y - 2y^2 + y^3),dy = tfrac12l[tfracy^22 - tfrac2y^33 + tfracy^44r]0^1 = tfrac12l(tfrac12 - tfrac23 + tfrac14r) = tfrac124

Passo 6

Portanto, a integral tripla vale 1/24.

Resposta

tfrac124

Exercícios relacionados