Determine, se possível, o domínio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
A função é f(x)=√(x+2)/(x²−3x+2). Vamos trabalhar com conceitos de domínio de funções envolvendo radiciação e proibição de divisão por zero, análise de assíntotas e estudo de imagem via comportamento nas fronteiras e ponto crítico.
Passo 2
Para achar o domínio, primeiro garantimos que o radicando seja não negativo: x+2≥0 ⇒ x≥−2. Depois exigimos que o denominador não zere: x²−3x+2≠0 ⇒ (x−1)(x−2)≠0 ⇒ x≠1,2. Logo:
[-2,1)∪(1,2)∪(2,∞)
[-2,1)∪(1,2)∪(2,∞)
Passo 3
Identificamos assíntotas verticais em x=1 e x=2. Estudando os limites laterais, vemos que f→+∞ quando x→1⁻, f→−∞ quando x→1⁺, f→−∞ quando x→2⁻ e f→+∞ quando x→2⁺.
Passo 4
Para assíntota horizontal, note que, quando x→∞, √(x+2)∼√x e x²−3x+2∼x², então f(x)∼1/x^{3/2}→0. Há intercepto em x=−2: f(−2)=0.
Passo 5
No intervalo (1,2) a função é negativa e tem um ponto crítico onde f’ =0. Calculando f’(x)=0 obtemos 3x²+5x−14=0, cuja raiz em (1,2) é x_c=(−5+√193)/6≈1.482. Em x_c, f(x_c)≈−7.463, que é o valor de pico (menos negativo).
Passo 6
Da análise dos ramos temos imagem positiva em [-2,1) e (2,∞) que vai de f(−2)=0 até +∞ quando x→1⁻ ou x→2⁺, cobrindo [0,∞). No intervalo (1,2) a imagem vai de −∞ até o máximo f(x_c)≈−7.463, cobrindo (−∞,−7.463].
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Três ramos separados por assíntotas verticais x=1 e x=2.
- Para x∈[−2,1): f cresce de f(−2)=0 até +∞ quando x→1⁻.
- Para x∈(1,2): f vem de −∞ em x→1⁺, atinge o max≈−7.463 em x≈1.482 e volta a −∞ em x→2⁻.
- Para x>2: f sai de +∞ em x→2⁺ e decresce suavemente em direção a y=0 quando x→∞.
- Assíntota horizontal y=0.
Este esboço ajuda a visualizar o comportamento global da função.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: três ramos com assíntotas verticais em x=1 e x=2 e assíntota horizontal y=0; ramo positivo em [−2,1) subindo de (−2,0) até +∞ em 1⁻, ramo negativo em (1,2) descendo de −∞ em 1⁺ até um pico em ≈(1.482,−7.463) e voltando a −∞ em 2⁻, e ramo positivo em (2,∞) caindo de +∞ em 2⁺ para 0 quando x→∞.