Seja P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+an-2 x^n-2+ldots+a2 x^2+a1 x+a0 um polinômio de grau n. Recordando que se alpha é uma raíz de P(x), então P(x)=(x-alpha) Q(x), onde Q(x) é o quociente da divisão de P(x) por (x-alpha). Particularmente, temos
a x^2+b x+c=a(x-x1)(x-x2),
onde x1 e x2 são raízes da equação do segundo grau a x^2+b x+c=0. Nestas condições, faça o que se pede:
(a) fatore os polinômios abaixo.
4 x^2-4 x+1

Passo 1

O enunciado do item (a) pede a fatoração do polinômio 4x^2 - 4x + 1. Isso faz parte do conteúdo de fatoração de trinômios quadráticos, e vamos usar a relação com as raízes e o discriminante para decompor o polinômio em fatores lineares.

Passo 2

Primeiro calculamos o discriminante De. Aqui temos a = 4, b = -4 e c = 1, logo De.

Passo 3

Como De, a equação tem uma raiz dupla dada por x = -b2a = --42 cdot 4 = 48 = 12.

Passo 4

Agora usamos a forma fatorada a(x - x1)(x - x2) com a raiz dupla x1 = x2 = tfrac12. Podemos escrever:
4x^2 - 4x + 1 = 4l(x - tfrac12r)^2 = (2x - 1)^2

Resposta

(2x - 1)^2

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