Determine, se possível, o domínio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para a gente estudar a função f(x) = –√(x–1): isso envolve domínio e imagem de uma função radical e depois esboçar o gráfico a partir das transformações da raiz quadrada.
Passo 2
Para achar o domínio, lembramos que a raiz quadrada só existe se o radicando for não-negativo. Aqui o radicando é (x–1), logo:
Logo, x\ge1. O domínio é [1, ∞).
Passo 3
Para a imagem (conjunto de valores de f), note que √(x–1) é sempre ≥0, e a função f é o negativo dessa raiz. Assim, f(x) varia de 0 (quando x=1) até –∞ (quando x→∞). A imagem é (–∞, 0].
Passo 4
Para esboçar o gráfico, partimos da função base y=√x, que cresce lentamente e é côncava para cima. Depois:
– fazemos a substituição x→x–1 para deslocar uma unidade para a direita;
– aplicamos o sinal negativo para refletir em relação ao eixo x (virar a curva “de cabeça para baixo”).
– fazemos a substituição x→x–1 para deslocar uma unidade para a direita;
– aplicamos o sinal negativo para refletir em relação ao eixo x (virar a curva “de cabeça para baixo”).
Passo 5
Marquemos alguns pontos para guiar o esboço:
- Em x=1 temos f(1)=–√0=0;
- Em x=2 temos f(2)=–√1=–1;
- Em x=5 temos f(5)=–√4=–2;
- Em x=10 temos f(10)=–√9=–3;
A curva parte de (1,0) e desce lentamente, ficando cada vez mais negativa, sempre côncava para cima.
Passo 6
Com essas informações, desenhe um sistema de eixos: marque os pontos listados e ligue-os por uma curva suave, que começa em (1,0) e vai decrescendo indefinidamente, mantendo a concavidade para cima.
Resposta
Domínio: [1, ∞)
Imagem: (–∞, 0]
Imagem: (–∞, 0]