Determine, se possível, o domínio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=-raizx-1

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar a função f(x) = –√(x–1): isso envolve domínio e imagem de uma função radical e depois esboçar o gráfico a partir das transformações da raiz quadrada.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que a raiz quadrada só existe se o radicando for não-negativo. Aqui o radicando é (x–1), logo:
x-1>=0
Logo, x\ge1. O domínio é [1, ∞).

Passo 3

Para a imagem (conjunto de valores de f), note que √(x–1) é sempre ≥0, e a função f é o negativo dessa raiz. Assim, f(x) varia de 0 (quando x=1) até –∞ (quando x→∞). A imagem é (–∞, 0].

Passo 4

Para esboçar o gráfico, partimos da função base y=√x, que cresce lentamente e é côncava para cima. Depois:
– fazemos a substituição x→x–1 para deslocar uma unidade para a direita;
– aplicamos o sinal negativo para refletir em relação ao eixo x (virar a curva “de cabeça para baixo”).

Passo 5

Marquemos alguns pontos para guiar o esboço:
  • Em x=1 temos f(1)=–√0=0;
  • Em x=2 temos f(2)=–√1=–1;
  • Em x=5 temos f(5)=–√4=–2;
  • Em x=10 temos f(10)=–√9=–3;
    A curva parte de (1,0) e desce lentamente, ficando cada vez mais negativa, sempre côncava para cima.

Passo 6

Com essas informações, desenhe um sistema de eixos: marque os pontos listados e ligue-os por uma curva suave, que começa em (1,0) e vai decrescendo indefinidamente, mantendo a concavidade para cima.

Resposta

Domínio: [1, ∞)
Imagem: (–∞, 0]

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