Nos problemas de 1 a 8 , classifique a equação como homogênea, Bernoulli, com coeficientes lineares, ou da forma y^prime=G(a x+b y). Em seguida, resolva-as.
cos (x+y) d y=sin (x+y) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
cos(x+y),dy=sin(x+y),dx
e pede para classificá-la (homogênea, Bernoulli, com coeficientes lineares ou da forma y'=G(ax+by)) e então resolvê-la. Vamos usar técnicas de equações do tipo y'=G(x+y).

Passo 2

Primeiro dividimos por dx para escrever em forma explícita:
dydx=sin(x+y)cos(x+y)=tan(x+y)
Isso mostra que y'=G(x+y), com G(u)=tan(u).

Passo 3

Como y'=tan(x+y) depende só da combinação x+y, fazemos a troca de variáveis
u=x+y
Para achar du/dx, derivamos em relação a x:
dudx=1+dydx=1+tan(u)

Passo 4

Separamos as variáveis:
du1+tan(u)=dx

Passo 5

Integramos dos dois lados. Para a integral em u usamos a identidade
1+tan(u)=sin(u)+cos(u)cos(u), de modo que
integraldu1+tan(u)=integralcos(u)sin(u)+cos(u),du
Para resolver, escrevemos
cos(u)sin(u)+cos(u)=12+cos(u)-sin(u)2(sin(u)+cos(u))
e notamos que d(sin(u)+cos(u))= (cos(u)-sin(u)),du. Portanto,
integralcos(u)sin(u)+cos(u),du=12integral du+12integrald(sin(u)+cos(u))sin(u)+cos(u)
=u2+12lnl|sin(u)+cos(u)r| + C

Passo 6

Voltando à variável original, multiplicamos tudo por 2 e trocamos u=x+y:
u+lnl|sin(u)+cos(u)r|=2x+C1
x+y+lnl|sin(x+y)+cos(x+y)r|=2x+C1

Passo 7

Reorganizando para deixar em forma implícita simples:
y - x + lnl|sin(x+y)+cos(x+y)r|=C
que é a solução geral da equação dada.

Resposta

y - x + \ln\bigl|\sin(x+y)+\cos(x+y)\bigr| = C

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