Nos problemas de 1 a 8 , classifique a equação como homogênea, Bernoulli, com coeficientes lineares, ou da forma
. Em seguida, resolva-as.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para classificá-la (homogênea, Bernoulli, com coeficientes lineares ou da forma
) e então resolvê-la. Vamos usar técnicas de equações do tipo
.
Passo 2
Primeiro dividimos por
para escrever em forma explícita:
Isso mostra que
, com
.
Passo 3
Como
depende só da combinação
, fazemos a troca de variáveis
Para achar
, derivamos em relação a
:
Passo 4
Separamos as variáveis:
Passo 5
Integramos dos dois lados. Para a integral em
usamos a identidade
, de modo que
Para resolver, escrevemos
e notamos que
. Portanto,
Passo 6
Voltando à variável original, multiplicamos tudo por 2 e trocamos
u=x+y :
Passo 7
Reorganizando para deixar em forma implícita simples:
que é a solução geral da equação dada.
Resposta
y - x + \ln\bigl|\sin(x+y)+\cos(x+y)\bigr| = C