Determine, se possível, o domínio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=ccc3-x, & se & x <= 1 2 x, & se & x>1

Passo 1

O exercício pede para achar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função definida em partes
f(x)= 3 - x, & x <= 1, 2x, & x > 1
Vamos usar conceitos de domínio de função, análise de imagem via estudo de cada ramo e, por fim, desenhar cada trecho no plano.

Passo 2

A função está definida para todos os x tais que x ≤ 1 (primeiro ramo) e x > 1 (segundo ramo). Fazendo a união dessas duas condições obtemos
Dom,f = (-infty,1]cup(1,infty)=R

Passo 3

Para encontrar a imagem, analisamos cada ramo separadamente:
  • Ramo 1: y₁ = 3 - x para x ≤ 1. Como é uma reta decrescente, em x=1 temos y₁(1)=2, e quando x→-∞, y₁→+∞. Então o alcance deste ramo é [2,∞).
  • Ramo 2: y₂ = 2x para x > 1. É uma reta crescente; em x→1⁺, y₂→2 (não inclui 2) e quando x→+∞, y₂→+∞. O alcance é (2,∞).
    Unindo os dois resultados, a imagem da função é
Im,f = [2,infty)

Passo 4

Para esboçar o gráfico:
  • Desenhe a reta y = 3 - x apenas até x=1, marcando um ponto fechado em (1,2).
  • Desenhe a reta y = 2x para x>1, marcando um ponto aberto em (1,2).
  • Cada linha segue indefinidamente para a esquerda (primeiro ramo) ou para a direita (segundo ramo).

Passo 5

Pronto! Tem-se o domínio, a imagem e o desenho aproximado do gráfico.

Resposta

Domínio: R
Imagem: [2,infty)
Esboço do gráfico: reta y=3-x para x<=1 com ponto fechado em (1,2) e reta y=2x para x>1 com ponto aberto em (1,2), seguindo cada ramo para os respectivos lados.

Exercícios relacionados