Determine, se possível, o domínio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O exercício pede para achar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função definida em partes
Vamos usar conceitos de domínio de função, análise de imagem via estudo de cada ramo e, por fim, desenhar cada trecho no plano.
Passo 2
A função está definida para todos os x tais que x ≤ 1 (primeiro ramo) e x > 1 (segundo ramo). Fazendo a união dessas duas condições obtemos
Passo 3
Para encontrar a imagem, analisamos cada ramo separadamente:
- Ramo 1: y₁ = 3 - x para x ≤ 1. Como é uma reta decrescente, em x=1 temos y₁(1)=2, e quando x→-∞, y₁→+∞. Então o alcance deste ramo é [2,∞).
- Ramo 2: y₂ = 2x para x > 1. É uma reta crescente; em x→1⁺, y₂→2 (não inclui 2) e quando x→+∞, y₂→+∞. O alcance é (2,∞).
Unindo os dois resultados, a imagem da função é
Passo 4
Para esboçar o gráfico:
- Desenhe a reta y = 3 - x apenas até x=1, marcando um ponto fechado em (1,2).
- Desenhe a reta y = 2x para x>1, marcando um ponto aberto em (1,2).
- Cada linha segue indefinidamente para a esquerda (primeiro ramo) ou para a direita (segundo ramo).
Passo 5
Pronto! Tem-se o domínio, a imagem e o desenho aproximado do gráfico.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço do gráfico: reta
para
com ponto fechado em
e reta
para
com ponto aberto em
, seguindo cada ramo para os respectivos lados.