Calcule a integral de superfície integral duplaS x y z d S onde S é a parte do plano 2 x+3 y+z=6 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície integral duplaS x y z , dS, onde S é a parte do plano 2x + 3y + z = 6 que está no primeiro octante.
Conteúdo envolvido:
  • Integral de superfície: é uma extensão da integral dupla para superfícies no espaço tridimensional.
  • Plano no primeiro octante: significa que estamos considerando apenas as partes do plano onde x, y e z são positivos.
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Parametrizar a superfície S.
  2. Encontrar a expressão para dS, que representa um elemento de área na superfície.
  3. Configurar os limites de integração no primeiro octante.
  4. Calcular a integral usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o plano 2x + 3y + z = 6. Uma maneira de fazer isso é resolver a equação do plano para uma das variáveis em termos das outras duas. Vamos resolver para z:
z = 6 - 2x - 3y
Agora, podemos definir x e y como variáveis livres. Então, a parametrização da superfície S fica:
r(x, y) = lang<= x, y, 6 - 2x - 3y rang<=

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar o elemento de área dS. Para isso, calculamos os vetores tangentes à superfície em relação a x e y e depois o produto vetorial deles.
Primeiro, derivamos r(x, y) em relação a x e y:
rx = partial rpartial x = lang<= 1, 0, -2 rang<=
ry = partial rpartial y = lang<= 0, 1, -3 rang<=
Agora, calculamos o produto vetorial rx times ry:
rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -2 0 & 1 & -3 = i(0 cdot (-3) - (-2) cdot 1) - j(1 cdot (-3) - (-2) cdot 0) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0)
= i(0 + 2) - j(-3 - 0) + k(1 - 0) = lang<= 2, 3, 1 rang<=
O módulo desse vetor nos dá o elemento de área dS:
dS = | rx times ry | , dx , dy = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 , dx , dy = raiz4 + 9 + 1 , dx , dy = raiz14 , dx , dy

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na integral. A função que queremos integrar é f(x, y, z) = x y z. Substituindo z = 6 - 2x - 3y, temos:
f(x, y) = x y (6 - 2x - 3y)
Então, a integral fica:
integral duplaS x y z , dS = integral duplaD x y (6 - 2x - 3y) raiz14 , dx , dy
Onde D é a projeção da superfície S no plano xy.

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração para x e y no primeiro octante. No primeiro octante, x >= 0, y >= 0 e z >= 0. Como z = 6 - 2x - 3y >= 0, temos:
6 - 2x - 3y >= 0 Rightarrow 2x + 3y <= 6
Isso nos dá a relação entre x e y. Vamos expressar y em função de x:
3y <= 6 - 2x Rightarrow y <= 6 - 2x3 = 2 - 23x
Então, os limites de y vão de 0 até 2 - 23x. E para x, quando y = 0, 2x <= 6 Rightarrow x <= 3. Portanto, x varia de 0 a 3.

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral iterada com os limites encontrados:
integral duplaS x y z , dS = raiz14 integral0^3 integral0^2 - 23x x y (6 - 2x - 3y) , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a y.

Passo 7

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
x y (6 - 2x - 3y) = 6x y - 2x^2 y - 3x y^2
Então, a integral interna fica:
integral0^2 - 23x (6x y - 2x^2 y - 3x y^2) , dy
Vamos integrar termo a termo:
  1. integral 6x y , dy = 6x cdot y^22 = 3x y^2
  2. integral -2x^2 y , dy = -2x^2 cdot y^22 = -x^2 y^2
  3. integral -3x y^2 , dy = -3x cdot y^33 = -x y^3
Então, a integral interna avaliada de 0 a 2 - 23x é:
[ 3x y^2 - x^2 y^2 - x y^3 ]0^2 - 23x

Passo 8

Agora, substituímos y = 2 - 23x na expressão:
3x (2 - 23x)^2 - x^2 (2 - 23x)^2 - x (2 - 23x)^3
Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. (2 - 23x)^2 = 4 - 83x + 49x^2
  2. (2 - 23x)^3 = 8 - 12x + 243x^2 - 827x^3 = 8 - 12x + 8x^2 - 827x^3
Substituindo de volta:
3x (4 - 83x + 49x^2) - x^2 (4 - 83x + 49x^2) - x (8 - 12x + 8x^2 - 827x^3)
Simplificando cada termo:
  1. 3x cdot 4 = 12x, 3x cdot (-83x) = -8x^2, 3x cdot 49x^2 = 129x^3 = 43x^3
  2. -x^2 cdot 4 = -4x^2, -x^2 cdot (-83x) = 83x^3, -x^2 cdot 49x^2 = -49x^4
  3. -x cdot 8 = -8x, -x cdot (-12x) = 12x^2, -x cdot 8x^2 = -8x^3, -x cdot (-827x^3) = 827x^4
Agora, somamos todos os termos:
12x - 8x^2 + 43x^3 - 4x^2 + 83x^3 - 49x^4 - 8x + 12x^2 - 8x^3 + 827x^4
Simplificando:
  • Termos em x: 12x - 8x = 4x
  • Termos em x^2: -8x^2 - 4x^2 + 12x^2 = 0
  • Termos em x^3: 43x^3 + 83x^3 - 8x^3 = (123)x^3 - 8x^3 = 4x^3 - 8x^3 = -4x^3
  • Termos em x^4: -49x^4 + 827x^4 = -1227x^4 + 827x^4 = -427x^4
Então, a expressão simplificada é:
4x - 4x^3 - 427x^4

Passo 9

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
raiz14 integral0^3 (4x - 4x^3 - 427x^4) dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. integral 4x , dx = 4 cdot x^22 = 2x^2
  2. integral -4x^3 , dx = -4 cdot x^44 = -x^4
  3. integral -427x^4 , dx = -427 cdot x^55 = -4135x^5
Então, a integral avaliada de 0 a 3 é:
[ 2x^2 - x^4 - 4135x^5 ]0^3
Substituindo x = 3:
2(3)^2 - (3)^4 - 4135(3)^5 = 2(9) - 81 - 4135(243) = 18 - 81 - 972135
Simplificando:
18 - 81 = -63
972135 = 972 div 27135 div 27 = 365 = 7.2
Então:
-63 - 7.2 = -70.2

Resposta

A integral de superfície é igual a -70.2 raiz14.

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