Calcule a integral de superfície onde é a parte do plano no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície , onde é a parte do plano que está no primeiro octante.
Conteúdo envolvido:
Integral de superfície: é uma extensão da integral dupla para superfícies no espaço tridimensional.
Plano no primeiro octante: significa que estamos considerando apenas as partes do plano onde , e são positivos.
Para resolver isso, vamos precisar:
Parametrizar a superfície .
Encontrar a expressão para , que representa um elemento de área na superfície.
Configurar os limites de integração no primeiro octante.
Calcular a integral usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o plano . Uma maneira de fazer isso é resolver a equação do plano para uma das variáveis em termos das outras duas. Vamos resolver para :
Agora, podemos definir e como variáveis livres. Então, a parametrização da superfície fica:
Passo 3
Em seguida, precisamos encontrar o elemento de área . Para isso, calculamos os vetores tangentes à superfície em relação a e e depois o produto vetorial deles.
O módulo desse vetor nos dá o elemento de área dS:
dS = | rx times ry | , dx , dy = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 , dx , dy = raiz4 + 9 + 1 , dx , dy = raiz14 , dx , dy
Passo 4
Agora, substituímos a parametrização na integral. A função que queremos integrar é f(x, y, z) = x y z. Substituindo z = 6 - 2x - 3y, temos:
f(x, y) = x y (6 - 2x - 3y)
Então, a integral fica:
integral duplaS x y z , dS = integral duplaD x y (6 - 2x - 3y) raiz14 , dx , dy
Onde D é a projeção da superfície S no plano xy.
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração para x e y no primeiro octante. No primeiro octante, x >= 0, y >= 0 e z >= 0. Como z = 6 - 2x - 3y >= 0, temos:
6 - 2x - 3y >= 0 Rightarrow 2x + 3y <= 6
Isso nos dá a relação entre x e y. Vamos expressar y em função de x:
3y <= 6 - 2x Rightarrow y <= 6 - 2x3 = 2 - 23x
Então, os limites de y vão de 0 até 2 - 23x. E para x, quando y = 0, 2x <= 6 Rightarrow x <= 3. Portanto, x varia de 0 a 3.
Passo 6
Agora, podemos escrever a integral iterada com os limites encontrados:
integral duplaS x y z , dS = raiz14 integral0^3 integral0^2 - 23x x y (6 - 2x - 3y) , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a y.
Passo 7
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
x y (6 - 2x - 3y) = 6x y - 2x^2 y - 3x y^2
Então, a integral interna fica:
integral0^2 - 23x (6x y - 2x^2 y - 3x y^2) , dy
Vamos integrar termo a termo:
integral 6x y , dy = 6x cdot y^22 = 3x y^2
integral -2x^2 y , dy = -2x^2 cdot y^22 = -x^2 y^2
integral -3x y^2 , dy = -3x cdot y^33 = -x y^3
Então, a integral interna avaliada de 0 a 2 - 23x é: