Determine, quando possível, a equação cartesiana e paramétrica da reta:
Que passa por
e é perpendicular a
.
Que passa por
Passo 1
Beleza, a gente tem aqui um exercício de geometria analítica. A tarefa é encontrar a equação cartesiana e a equação paramétrica de uma reta que passa pelo ponto $ A = (1, 2, 3) $ e é perpendicular ao plano dado pela equação $ 2x - 3y + 4z = -5 $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma reta ser perpendicular a um plano e como isso nos ajuda a determinar a direção da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação cartesiana de um plano é da forma $ ax + by + cz + d = 0 $, onde $ (a, b, c) $ é o vetor normal ao plano. No nosso caso, a equação do plano é $ 2x - 3y + 4z = -5 $, então o vetor normal é $ \vec{n} = (2, -3, 4) $.
Passo 3
Agora, se uma reta é perpendicular a esse plano, isso significa que a direção da reta é paralela ao vetor normal do plano. Ou seja, o vetor diretor da reta será igual ao vetor normal do plano. Então, o vetor diretor da reta $ \vec{v} $ é $ \vec{v} = (2, -3, 4) $.
Passo 4
Com o vetor diretor $ \vec{v} $ e o ponto $ A = (1, 2, 3) $, podemos escrever a equação paramétrica da reta. A equação paramétrica de uma reta que passa por um ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ e tem vetor diretor $ (a, b, c) $ é:
Substituindo os valores, temos:
Passo 5
Para encontrar a equação cartesiana da reta, podemos usar as equações paramétricas e eliminar o parâmetro $ t $. A forma geral da equação cartesiana de uma reta no espaço é:
Usando nossos valores:
Resposta
A reta que passa por $ A = (1, 2, 3) $ e é perpendicular ao plano $ 2x - 3y + 4z = -5 $ tem:
- Equação paramétrica:
- Equação cartesiana: