Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função abaixo:
f(x, y)=x^2+x y+3 x+2 y+5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos de f(x,y)=x^{2}+x y+3 x+2 y+5 e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. O conteúdo principal aqui é cálculo de gradiente para achar pontos críticos e uso da matriz Hessiana para classificar esses pontos.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais para montar o gradiente. A derivada em relação a x é f_{x}=2x+y+3 e a derivada em relação a y é f_{y}=x+2.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
2x+y+3=0
(x+2)=0
Da segunda equação vem x=-2. Substituindo na primeira: 2(-2)+y+3=0 implica y=1. Portanto o único ponto crítico é (-2,1).

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana para classificar o ponto. As segundas derivadas são f_{xx}=2, f_{xy}=1 e f_{yy}=0. Logo
H= 2 & 11 & 0

Passo 5

O determinante de H vale det(H)=2·0−1·1=−1, que é negativo. Pelo teste da segunda derivada, determinante negativo indica ponto de sela.

Passo 6

Concluímos que não há máximos nem mínimos locais, e o único ponto crítico é um ponto de sela em (-2,1).

Resposta

Não existe mínimo nem máximo local; há um ponto de sela em (-2,1).

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