As seguintes equações diferenciais de primeira ordem são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Determine se as equações na forma normal são lineares e/ou homogêneas, e se as equaçōes sob forma diferencial são separáveis e/ou exatas.
y^prime=-x y^2x^2 y+y^2 ; x y^2 d x+(x^2 y+y^2) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos duas formas de uma equação diferencial de primeira ordem:
  1. Forma normal: $ y’ = \frac{-x y{2}}{x{2} y + y^{2}} $
  2. Forma diferencial: $ x y^{2} , dx + \left(x^{2} y + y^{2}\right) , dy = 0 $
Precisamos verificar:
  • Se a forma normal é linear e/ou homogênea.
  • Se a forma diferencial é separável e/ou exata.
Para isso, vamos precisar entender o que significa cada um desses termos: linearidade, homogeneidade, separabilidade e exatidão em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a forma normal da equação:
y' = -x y^2x^2 y + y^2
Linearidade: Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita na forma $ y’ + P(x) y = Q(x) $. Ou seja, os termos de $ y $ e $ y’ $ são de primeiro grau e não estão multiplicados ou compostos de outras maneiras.
Olha aqui, no nosso caso:
y' + P(x) y = Q(x)
Temos $ y^{2} $ no numerador e no denominador, o que já mostra que os termos não estão apenas na primeira potência. Assim, a equação não é linear.
Homogeneidade: Uma equação é homogênea se todos os termos podem ser escritos em termos de uma função homogênea do mesmo grau. Para verificar isso, podemos simplificar a expressão:
Simplificando a fração:
y
Ainda assim, temos uma mistura de $ x $ e $ y $ que não se encaixa em uma função homogênea de um único grau. Portanto, a equação não é homogênea.

Passo 3

Agora, vamos para a forma diferencial da equação:
x y^2 , dx + (x^2 y + y^2) , dy = 0
Separabilidade: Uma equação diferencial é separável se conseguimos escrever a equação de forma que todos os termos com $ y $ fiquem de um lado e os termos com $ x $ de outro lado, facilitando a integração.
Vamos tentar separar:
y
Dividindo ambos os lados por $ y^{2} $:
x
Ainda parece complicado separar $ x $ e $ y $ de maneira clara, então a equação não é separável.
Exatidão: Uma equação diferencial é exata se existe uma função $ F(x, y) $ cuja derivada total $ dF = M , dx + N , dy $, onde $ M $ e $ N $ são as funções que multiplicam $ dx $ e $ dy $ na equação.
Para verificar a exatidão, usamos a condição:
x y^2 , dx = -(x^2 y + y^2) , dy
No nosso caso:
y^2
x , dx = -(x^2 y + y^2y^2) , dy = -(x^2y + 1) , dy
Calculando as derivadas parciais:
x
y
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata.

Resposta

  • A equação na forma normal não é linear nem homogênea.
  • A equação na forma diferencial não é separável, mas é exata.

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