Encontre:
Um vetor cuja projeção ortogonal sobre
seja
.
Um vetor cuja projeção ortogonal sobre
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos o vetor
e queremos encontrar outro vetor
cuja projeção ortogonal sobre
seja igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da projeção de um vetor
sobre um vetor
. A projeção ortogonal de
sobre
é dada por:
Aqui,
representa o produto escalar dos vetores
e
.
Passo 3
Segundo o enunciado, sabemos que:
Então, substituindo na fórmula da projeção:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(considerando que
):
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por 10:
Passo 5
Sabendo que
e
, o produto escalar fica:
Podemos reescrever essa equação:
Isso nos dá uma relação entre
e
, mas temos infinitas soluções pois há duas variáveis e uma equação. Para encontrar um vetor específico, podemos escolher um valor para uma das componentes e resolver para a outra.
Passo 6
Vamos supor que
. Substituindo na equação:
Então, um possível vetor
é
.
Resposta
Um vetor que satisfaz a condição dada é
.