Encontre:
Um vetor cuja projeção ortogonal sobre u=(-1,3) seja 2 u.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos o vetor u = (-1, 3) e queremos encontrar outro vetor v cuja projeção ortogonal sobre u seja igual a 2 u. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da projeção de um vetor v sobre um vetor u. A projeção ortogonal de v sobre u é dada por:
proju v = ( v cdot uu cdot u ) u
Aqui, v cdot u representa o produto escalar dos vetores v e u.

Passo 3

Segundo o enunciado, sabemos que:
proju v = 2 u
Então, substituindo na fórmula da projeção:
( v cdot uu cdot u ) u = 2 u
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por u (considerando que u neq 0):
v cdot uu cdot u = 2

Passo 4

Agora, vamos calcular u cdot u:
u cdot u = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10
Então, temos:
v cdot u10 = 2
Multiplicando ambos os lados por 10:
v cdot u = 20

Passo 5

Sabendo que v = (v1, v2) e u = (-1, 3), o produto escalar fica:
v cdot u = v1(-1) + v2(3) = -v1 + 3v2 = 20
Podemos reescrever essa equação:
-v1 + 3v2 = 20
Isso nos dá uma relação entre v1 e v2, mas temos infinitas soluções pois há duas variáveis e uma equação. Para encontrar um vetor específico, podemos escolher um valor para uma das componentes e resolver para a outra.

Passo 6

Vamos supor que v1 = 2. Substituindo na equação:
-2 + 3v2 = 20 3v2 = 22 v2 = 223 approx 7,33
Então, um possível vetor v é (2, 223).

Resposta

Um vetor que satisfaz a condição dada é v = (2, dfrac223).

Exercícios relacionados