Determine, se possível, uma equação geral do plano determinado pelas retas r e s, nos casos a seguir:
r: X=(1,2,3)+h(1,0,2) ; h in IR
& x=2 t & s: y=3 & z=1+4 t ; t in IR

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r:
X = (1,2,3) + h,(1,0,2), hinR,
e s:
x=2t, y=3, z=1+4t, tinR
Queremos achar a equação geral do plano que contém essas duas retas. Para isso, vamos extrair pontos e vetores diretores, verificar que elas são paralelas e usar um vetor que as interliga para obter o vetor normal do plano.

Passo 2

Para r escolhemos o ponto
Pr = (1,2,3)
e o vetor diretor
v = (1,0,2)
Para s, tomando t=0, obtemos o ponto
Ps = (0,3,1)
e o vetor diretor
w = (2,0,4)

Passo 3

Observamos que
w = 2,v,
logo as retas são paralelas. Como têm y constante diferente ( y=2 em r e y=3 em s), são retas paralelas e distintas, portanto definem um plano.

Passo 4

Tomamos o vetor que liga um ponto de r a um ponto de s:
u = Ps - Pr = (0-1,,3-2,,1-3) = (-1,1,-2)
Esse vetor não é paralelo a v, o que confirma que r e s realmente geram um plano.

Passo 5

O vetor normal do plano é dado pelo produto vetorial n = v times u. Calculamos
n = i & j & k 1 & 0 & 2 -1 & 1 & -2 =(-2,,0,,1)

Passo 6

A equação geral do plano com normal n=(-2,0,1) que passa por Pr=(1,2,3) é
ncdotl((x,y,z)-(1,2,3)r)=0
Isso dá
-2,(x-1)+0,(y-2)+1,(z-3)=0 Longrightarrow -2x+2+z-3=0 Longrightarrow -2x+z-1=0
Multiplicando por -1, obtemos a forma mais comum:

Resposta

2x - z + 1 = 0

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