Mostre que os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de
. Determine uma base e a dimensão de cada um deles.
e
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é subespaço de , e em seguida determinar uma base e a dimensão de
.
Para isso precisamos usar (1) o critério de subespaço — verificar que contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar — e (2) resolver o sistema de equações lineares que define
para encontrar um parâmetro livre e extrair uma base.
é subespaço de
Para isso precisamos usar (1) o critério de subespaço — verificar que
Passo 2
Mostramos que
é subespaço de
.
- O vetor zero
satisfaz
logo
.
2. Se e
estão em
, então
2. Se
Para
, o vetor
satisfaz
e
Logo
. Assim
é subespaço.
Passo 3
Vamos resolver o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Quer dizer que todo
é da forma
onde
é um parâmetro.
Passo 4
Da parametrização
vemos que
Portanto uma base de
é
e a dimensão de
é
.
Resposta
Uma base de
é
e
.