Mostre que os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de V. Determine uma base e a dimensão de cada um deles.
W=(x, y, z) in R^3 mid x-y+2 z=0 e x+z=0, V=R^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W=(x,y,z)inR^3mid x - y + 2z = 0 e x+z=0
é subespaço de V=R^3, e em seguida determinar uma base e a dimensão de W.
Para isso precisamos usar (1) o critério de subespaço — verificar que W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar — e (2) resolver o sistema de equações lineares que define W para encontrar um parâmetro livre e extrair uma base.

Passo 2

Mostramos que W é subespaço de R^3.
  1. O vetor zero (0,0,0) satisfaz
0 - 0 + 2cdot0 = 0, 0 + 0 = 0,
logo (0,0,0)in W.
2. Se u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) estão em W, então
x1-y1+2z1=0,;x1+z1=0 e x2-y2+2z2=0,;x2+z2=0
Para alpha,betainR, o vetor alpha u+beta v=(alpha x1+beta x2,alpha y1+beta y2,alpha z1+beta z2) satisfaz
(alpha x1+beta x2)-(alpha y1+beta y2)+2(alpha z1+beta z2) =alpha(x1-y1+2z1)+beta(x2-y2+2z2)=0
e
(alpha x1+beta x2)+(alpha z1+beta z2) =alpha(x1+z1)+beta(x2+z2)=0
Logo alpha u+beta vin W. Assim W é subespaço.

Passo 3

Vamos resolver o sistema
x-y+2z=0, x+z=0
Da segunda equação vem x=-z. Substituindo na primeira:
(-z)-y+2z=0 Longrightarrow y=z
Quer dizer que todo (x,y,z)in W é da forma
(x,y,z)=(-z,z,z)=z,(-1,1,1),
onde zinR é um parâmetro.

Passo 4

Da parametrização (x,y,z)=z,(-1,1,1) vemos que
W=,z(-1,1,1)mid zinR=span(-1,1,1)
Portanto uma base de W é (-1,1,1) e a dimensão de W é 1.

Resposta

Uma base de W é (-1,1,1) e dim W = 1.

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