Determine, se possível, uma equação geral do plano determinado pelas retas r e s, nos casos a seguir:
r: X=(-1,2,1)+h(1,2,-1) ; h in IR
s: X=(2,5,-2)+t(-2,4,2) ; t in IR

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3
r: X = (-1,2,1) + h,(1,2,-1) e
s: X = (2,5,-2) + t,(-2,4,2),
e pede a equação geral do plano que as contém.
Para isso vamos precisar de um ponto comum às retas e de dois vetores diretores para calcular um vetor normal ao plano via produto vetorial.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores
vr = (1,2,-1), vs = (-2,4,2)
Como não existe escalar lambda tal que vs = lambda,vr, as retas não são paralelas e portanto geram um plano único.

Passo 3

Para encontrar um ponto
Isto gera o sistema
cuja solução é .
Substituindo, obtemos

Passo 4

Calculamos o vetor normal n ao plano como
n = vr times vs = (2cdot 2 - (-1)cdot 4,; -(1cdot 2 - (-1)cdot(-2)),; 1cdot 4 - 2cdot(-2)) = (8,,0,,8)
Podemos simplificar para
n = (1,0,1)

Passo 5

A equação geral do plano com normal n=(1,0,1) passando por P=(tfrac54,tfrac132,-tfrac54) é
ncdotl((x,y,z)-Pr)=0 ;Longrightarrow; (x-tfrac54) + (z + tfrac54) = 0 ;Longrightarrow; x + z = 0

Resposta

A equação geral do plano é
x + z = 0

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